Question

Найти производную: arcсtg 2√x

Answer 1

$(x^ \alpha)'_x= \alpha *x^{ \alpha -1}$ (1)

$(2 \sqrt{x} )'_x=2*( \sqrt{x} )=2*(x^{ \frac{1}{2} })'_x=2* \frac{1}{2} *x^{ \frac{1}{2}-1 }=x^{- \frac{1}{2} }= \frac{1}{x^{ \frac{1}{2} }} = \frac{1}{ \sqrt{x} }$

производная от сложной функции:
$u(v(t))'_t=u'_v*v'_t$

у нас: $arcctg(2 \sqrt{x} )$

роль $v$ играет функция: $v(x)=2 \sqrt{x}$
роль $u$ играет функция: $u=u(v(x))=arcctg(v(x))=arcctg(2 \sqrt{x} )$

есть формула: $(arcctg(x))'_x=- \frac{1}{1+x^2}$ (2)

тогда у нас: $(arcctg( 2\sqrt{x} ))'_x=(arcctg(v))'_v*(v(x))'_x= -\frac{1}{1+v^2} *(2 \sqrt{x} )'_x=$

$= -\frac{1}{1+(2 \sqrt{x} )^2} * \frac{1}{ \sqrt{x} } =- \frac{1}{(1+4x) \sqrt{x} }$

Ответ: $- \frac{1}{(1+4x) \sqrt{x} }$

P.S. формулы (1) и (2) и формула нахождения производной от сложной функции выводятся из самого определения производной (через лимиты)

Answer 2

Для нахождения производной функции, содержащей арккотангенс и квадратный корень, мы можем использовать правило дифференцирования сложной функции, известное как правило цепной дифференциации или правило дифференцирования композиции функций.

Давайте разобьем заданную функцию на две составляющие функции: внешнюю функцию f(u) = arccot(u) и внутреннюю функцию g(x) = 2√x. Затем мы найдем производные этих функций по отдельности и применим правило цепной дифференциации.

Нахождение производной внешней функции

Производная функции arccot(u) можно найти, используя производную арктангенса. Обозначим u = g(x), тогда наша внешняя функция f(u) = arccot(u). Производная arccot(u) равна -1/(1 + u^2).

Нахождение производной внутренней функции

Производная функции g(x) = 2√x можно найти, применяя правило дифференцирования степенной функции и правило дифференцирования константы. Производная 2√x равна (1/√x) * 2 = 2/√x.

Применение правила цепной дифференциации

Теперь, используя найденные производные, мы можем применить правило цепной дифференциации, которое гласит, что производная композиции функций f(g(x)) равна произведению производной внешней функции f(u) по u и производной внутренней функции g(x) по x.

Производная исходной функции будет равна:

f'(x) = (d/dx) [arccot(2√x)] = (d/du) [arccot(u)] * (d/dx) [2√x]

Подставляя найденные производные, получим:

f'(x) = -1/(1 + (2√x)^2) * 2/√x

Итак, производная функции arcсtg(2√x) равна -2/(1 + 4x).

Примечание: При записи производной использовалось обозначение "d/dx" для обозначения дифференцирования по переменной x.