Question

A) 3cos 2x = 4 - 11 cos x b) cos 2x + 6 sin x - 5 = 0 c) cos 5x + sin x sin 4x = 0

Answer 1

цікаві завдання, але розвязуються за найпростішими формулами

Answer 2

Давайте рассмотрим каждое уравнение по отдельности и найдем его решение.

A) 3cos(2x) = 4 - 11cos(x)

Для начала, посмотрим на график функции cos(x). Мы знаем, что cos(x) принимает значения от -1 до 1. Также, мы знаем, что cos(2x) = 2cos^2(x) - 1.

Теперь, вернемся к уравнению: 3cos(2x) = 4 - 11cos(x)

Заменим cos(2x) на выражение с cos(x): 3(2cos^2(x) - 1) = 4 - 11cos(x)

Раскроем скобки: 6cos^2(x) - 3 = 4 - 11cos(x)

Перенесем все члены в одну сторону: 6cos^2(x) + 11cos(x) - 7 = 0

Теперь у нас есть квадратное уравнение относительно cos(x). Решим его с помощью квадратного уравнения: cos(x) = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)

где a = 6, b = 11, c = -7.

Подставим значения и решим: cos(x) = (-11 ± √(11^2 - 4 * 6 * -7)) / (2 * 6)

cos(x) = (-11 ± √(121 + 168)) / 12

cos(x) = (-11 ± √289) / 12

cos(x) = (-11 ± 17) / 12

Таким образом, у нас есть два возможных значения для cos(x): 1) cos(x) = (17 - 11) / 12 = 6 / 12 = 0.5 2) cos(x) = (-17 - 11) / 12 = -28 / 12 = -2.33

Используя график функции cos(x), мы можем определить, когда cos(x) равно 0.5 и -2.33. Таким образом, мы можем найти значения x, при которых выполняется уравнение.

B) cos(2x) + 6sin(x) - 5 = 0

Для решения этого уравнения, мы можем использовать идентичность: cos(2x) = 1 - 2sin^2(x)

Вернемся к уравнению: 1 - 2sin^2(x) + 6sin(x) - 5 = 0

Упростим: -2sin^2(x) + 6sin(x) - 4 = 0

Делим уравнение на -2: sin^2(x) - 3sin(x) + 2 = 0

Теперь у нас есть квадратное уравнение относительно sin(x). Решим его с помощью квадратного уравнения: sin(x) = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)

где a = 1, b = -3, c = 2.

Подставим значения и решим: sin(x) = (3 ± √(9 - 4 * 1 * 2)) / 2

sin(x) = (3 ± √(9 - 8)) / 2

sin(x) = (3 ± √1) / 2

sin(x) = (3 ± 1) / 2

Таким образом, у нас есть два возможных значения для sin(x): 1) sin(x) = (3 + 1) / 2 = 4 / 2 = 2 2) sin(x) = (3 - 1) / 2 = 2 / 2 = 1

Однако, мы знаем, что значения sin(x) находятся в диапазоне от -1 до 1. Таким образом, второе решение не подходит.

Используя график функции sin(x), мы можем определить, когда sin(x) равно 2. Однако, sin(x) не может быть равным 2, поэтому данное уравнение не имеет решений.

C) cos(5x) + sin(x) + sin(4x) = 0

Для решения этого уравнения, мы можем использовать идентичность: sin(α) + sin(β) = 2sin((α + β) / 2)cos((α - β) / 2)

Вернемся к уравнению: cos(5x) + sin(x) + sin(4x) = 0

Используя идентичность, заменим сумму синусов: cos(5x) + 2sin((x + 4x) / 2)cos((x - 4x) / 2) = 0

Упростим: cos(5x) + 2sin(2.5x)cos(-1.5x) = 0

Так как cos(-1.5x) = cos(1.5x), мы можем записать уравнение: cos(5x) + 2sin(2.5x)cos(1.5x) = 0

Теперь у нас есть произведение синуса и косинуса. Возможны два случая:

1) sin(2.5x) = 0 cos(5x) + 0 = 0 cos(5x) = 0

Значение cos(5x) равно 0 при x = π/10 + kπ, где k - целое число.

2) cos(1.5x) = 0 cos(5x) + 2sin(2.5x) * 0 = 0 cos(5x) = 0

Значение cos(5x) равно 0 при x = π/5 + kπ, где k - целое число.

Таким образом, мы нашли значения x, при которых выполняется уравнение.

Надеюсь, это помогло! Если у вас есть дополнительные вопросы, пожалуйста, дайте мне знать.