Question

Интеграл от /4 до /2 1/sin^2x dx

Answer 1

интеграл (1/sin²x dx)  = (-ctqx) | a =/4,b=π/2   =  -(ctqb -ctqa) =   -(ctqπ/2 -ctqπ/4) = -(0 -1) =1

Answer 2

Для решения данного интеграла, мы можем использовать метод подстановки. Перед тем, как приступить к решению, давайте разберемся в некоторых важных свойствах тригонометрических функций.

Свойства тригонометрических функций: 1. $\sin^2(x) = 1 - \cos^2(x)$ 2. $\cos^2(x) = 1 - \sin^2(x)$ 3. $\sec^2(x) = 1 + \tan^2(x)$ 4. $\csc^2(x) = 1 + \cot^2(x)$

Теперь, приступим к решению интеграла.

Шаг 1: Применение подстановки

Для начала, давайте воспользуемся свойством 1 и заменим $\sin^2(x)$ на $1 - \cos^2(x)$. Тогда интеграл примет следующий вид:

$$\int_{4}^{2} \frac{1}{\sin^2(x)} dx = \int_{4}^{2} \frac{1}{1 - \cos^2(x)} dx$$

Шаг 2: Замена переменных

Для удобства, проведем замену переменных, где $u = \cos(x)$ и $du = -\sin(x) dx$. При замене переменных, пределы интегрирования также изменятся:

При $x = 4$, $u = \cos(4)$ При $x = 2$, $u = \cos(2)$

Теперь, давайте перепишем интеграл с использованием новых переменных:

$$-\int_{\cos(4)}^{\cos(2)} \frac{1}{1 - u^2} du$$

Шаг 3: Интегрирование

Теперь, мы можем решить этот интеграл. Заметим, что интеграл очень похож на интеграл от функции $\frac{1}{1 - x^2}$. Мы знаем, что данный интеграл равен $\frac{1}{2} \ln \left|\frac{1 + x}{1 - x}\right| + C$, где $C$ - произвольная постоянная.

Применим эту формулу к нашему интегралу:

$$-\int_{\cos(4)}^{\cos(2)} \frac{1}{1 - u^2} du = -\left[\frac{1}{2} \ln \left|\frac{1 + u}{1 - u}\right|\right]_{\cos(4)}^{\cos(2)}$$

Шаг 4: Вычисление

Теперь, давайте вычислим значения выражения при верхнем и нижнем пределах:

$$-\left[\frac{1}{2} \ln \left|\frac{1 + \cos(2)}{1 - \cos(2)}\right|\right] - \left[\frac{1}{2} \ln \left|\frac{1 + \cos(4)}{1 - \cos(4)}\right|\right]$$

Шаг 5: Упрощение

Далее, мы можем упростить это выражение, используя свойства логарифмов. Для этого, давайте воспользуемся свойствами 2 и 3:

$$-\left[\frac{1}{2} \ln \left|\frac{1 + \cos(2)}{1 - \cos(2)}\right|\right] - \left[\frac{1}{2} \ln \left|\frac{1 + \cos(4)}{1 - \cos(4)}\right|\right]$$

$$= -\frac{1}{2} \ln \left|\frac{(1 + \cos(2))(1 - \cos(4))}{(1 - \cos(2))(1 + \cos(4))}\right|$$

$$= -\frac{1}{2} \ln \left|\frac{1 - \cos^2(4) + \cos^2(2) - \cos^2(2)\cos^2(4)}{1 - \cos^2(2) + \cos^2(4) - \cos^2(2)\cos^2(4)}\right|$$

Шаг 6: Дополнительное упрощение

Далее, мы можем продолжить упрощение, заметив, что $\cos^2(2)\cos^2(4)$ и $\cos^2(4)\cos^2(2)$ - это одно и то же:

$$-\frac{1}{2} \ln \left|\frac{1 - \cos^2(4) + \cos^2(2) - \cos^2(2)\cos^2(4)}{1 - \cos^2(2) + \cos^2(4) - \cos^2(2)\cos^2(4)}\right|$$

$$= -\frac{1}{2} \ln \left|\frac{1 - \cos^2(4) + \cos^2(2) - \cos^2(2)\cos^2(4)}{1 - \cos^2(2) + \cos^2(4) - \cos^2(2)\cos^2(4)}\right|$$

$$= -\frac{1}{2} \ln \left|\frac{(1 - \cos^2(2))(1 + \cos^2(4))}{(1 - \cos^2(4))(1 + \cos^2(2))}\right|$$

$$= -\frac{1}{2} \ln \left|\frac{(\sin^2(2))(1 + \cos^2(4))}{(\sin^2(4))(1 + \cos^2(2))}\right|$$

Окончательный ответ

После всех упрощений, мы получаем окончательный ответ:

$$-\frac{1}{2} \ln \left|\frac{\sin^2(2)(1 + \cos^2(4))}{\sin^2(4)(1 + \cos^2(2))}\right|$$

Опять же, заметим, что это окончательный ответ исходного интеграла $\int_{4}^{2} \frac{1}{\sin^2(x)} dx$.