Question

Помогите доказать неравенство (x-4)*(x+9)больше(x+12)*(x-7) (a-1)*(a-5)больше или равно2*(2a-10)

Answer 1

(x-4)*(x+9)>(x+12)*(x-7)
x²+9x-4x-36>x²-7x+12x-84
x²+5x-36>x²+5x-84
т.к (-36)>(-84), неравенство верно

(a-1)*(a-5)≥2*(2a-10)
a²-5a-a+5≥4a-20
a²-6a+5≥4a-20
Вот здесь другая ситуация и не сразу ясно, что к чему. Сделаем подстановку (а=1) :
1-6+5≥4-20
0≥-16
При подстановке неравенство доказано.

Answer 2

1) (х-4) сверху напиши 3х,(х+9) сверху напиши 9х, 3х×9х=27х, больше (х+12)сверху напиши 12х, (х-7) сверху напиши 6х 12х×6х=72х.
2) (а-1) сверху напиши 0, (а-5)сверху напиши 4х, 0×4х=0, а 2×(2а-10) не знаю как решить.

Answer 3

Давайте разберемся с этим неравенством шаг за шагом.

Имеем неравенство:

\[(x-4)(x+9) \geq (x+12)(x-7) + (a-1)(a-5) \geq 2(2a-10)\]

1. Раскрываем скобки:

\[x^2 + 5x - 36 \geq x^2 + 5x - 84 + a^2 - 6a + 5 \geq 4a - 20\]

2. Сокращаем одинаковые члены слева и справа:

\[ -36 \geq a^2 - 6a - 79 \geq 4a - 20\]

3. Собираем все члены в одну сторону и упрощаем:

\[0 \geq a^2 - 6a - 43 \geq 4a + 59\]

4. Находим корни квадратного уравнения \(a^2 - 6a - 43 = 0\):

\[a = \frac{6 \pm \sqrt{6^2 - 4(-43)}}{2} = \frac{6 \pm \sqrt{324 + 172}}{2} = \frac{6 \pm \sqrt{496}}{2} = \frac{6 \pm 4\sqrt{31}}{2} = 3 \pm 2\sqrt{31}\]

5. Выбираем интервалы для проверки:

Выберем три точки на числовой оси, которые разбивают плоскость на четыре интервала. Это точки \(a = -\infty, 3 - 2\sqrt{31}, 3 + 2\sqrt{31}, +\infty\).

6. Проверяем неравенство на каждом интервале:

- Для интервала \((- \infty, 3 - 2\sqrt{31})\): Выбираем \(a = 0\), тогда получаем \(-43 \geq 59\), что не выполняется. - Для интервала \((3 - 2\sqrt{31}, 3 + 2\sqrt{31})\): Выбираем \(a = 3\), тогда получаем \(-43 \geq 59\), что не выполняется. - Для интервала \((3 + 2\sqrt{31}, +\infty)\): Выбираем \(a = 10\), тогда получаем \(-43 \geq 99\), что не выполняется.

Таким образом, решением неравенства является множество всех значений \(a\), для которых \(a\) принадлежит интервалу \([3 - 2\sqrt{31}, 3 + 2\sqrt{31}]\).