Question

Найти наибольшее и наименьшее значение функции 3sin(x)-sin(3x) на отрезке [0;pi], если можно с подробным решением

Answer 1

$y=3sinx-sin3x$

$y'=(3sinx-sin3x)'=(3sinx)'-(sin3x)'=3cosx-3cos3x$

$3cosx-3cos3x=0$

$cosx-cos3x=0$

$-2sin2x*sin(-x)=0$

$2sin2x*sinx=0$

$sin2x*sinx=0$

$sin2x=0$   или   $sinx=0$
$2x= \pi k,$ k∈Z  или  $x= \pi n,$ n∈Z
$x= \frac{ \pi k}{2} ,$ k∈Z
$k=0$  $x=0$                      $n=0$   $x=0$
$k=1$  $x= \frac{ \pi }{2}$                      $n=1$  $x= \pi$
$k=2$  $x= \pi$

$y(0)=3sin0-sin0=0$ - наименьшее

$y( \frac{ \pi }{2} )=3sin \frac{ \pi }{2} -sin \frac{3 \pi }{2} =3*1-(-1)=4$ - наибольшее

$y( \pi )=3sin \pi -sin3 \pi =3*0-sin \pi =0$ - наименьшее

Answer 2

Чтобы найти наибольшее и наименьшее значение функции \(f(x) = 3\sin(x) - \sin(3x)\) на отрезке \([0, \pi]\), нужно выполнить следующие шаги:

1. Найти критические точки внутри отрезка. 2. Определить значения функции на концах отрезка и в найденных критических точках. 3. Найти значения функции в точках, где производная равна нулю (если такие точки есть). 4. Сравнить полученные значения и определить наименьшее и наибольшее значение функции.

Начнем с первого шага:

1. Найти критические точки внутри отрезка:

Функция \(f(x) = 3\sin(x) - \sin(3x)\), и ее производная равна:

\[f'(x) = 3\cos(x) - 3\cos(3x)\]

Найдем значения \(x\), при которых \(f'(x) = 0\) или \(f'(x)\) не существует.

\[3\cos(x) - 3\cos(3x) = 0\]

\[3\cos(x) = 3\cos(3x)\]

\[\cos(x) = \cos(3x)\]

Это уравнение имеет решения при \(x = 0\), \(x = \pi/2\) и \(x = \pi\).

2. Определить значения функции на концах отрезка и в найденных критических точках:

\[f(0) = 3\sin(0) - \sin(0) = 0\] \[f(\pi/2) = 3\sin(\pi/2) - \sin(3(\pi/2)) = 3 - (-1) = 4\] \[f(\pi) = 3\sin(\pi) - \sin(3\pi) = 0\]

3. Найти значения функции в точках, где производная равна нулю:

\[f(0) = 0\] \[f(\pi/2) = 4\] \[f(\pi) = 0\]

4. Сравнить полученные значения и определить наименьшее и наибольшее значение функции:

Наименьшее значение: \(0\) (достигается в точках \(x = 0\) и \(x = \pi\)).

Наибольшее значение: \(4\) (достигается в точке \(x = \pi/2\)).

Таким образом, наименьшее значение функции на отрезке \([0, \pi]\) равно 0, а наибольшее значение равно 4.