Question

найдите целые значения коэффициента m ,при которых 3-sqrt(5) является одним из решений уравнения x^2-mx+4=0

Answer 1

подставим x=3-sqrt(5) в уравнение:   14-6*sqrt(5) - m(3-sqrt(5))+4=0,

m(3-sqrt(5))=18-6*sqrt(5),   m(3-sqrt(5))=6(3-sqrt(5)), m=6

Answer 2

Для того чтобы найти целые значения коэффициента m, при которых выражение 3 - sqrt(5) является одним из решений уравнения x^2 - mx + 4 = 0, мы можем использовать свойства квадратного уравнения.

Квадратное уравнение x^2 - mx + 4 = 0 имеет два решения, которые можно найти с помощью формулы дискриминанта:

x = (-b ± sqrt(b^2 - 4ac)) / 2a

где a, b и c - коэффициенты квадратного уравнения.

В данном случае у нас есть два решения, одно из которых равно 3 - sqrt(5). Значит, мы можем записать следующее уравнение:

3 - sqrt(5) = (-(-m) ± sqrt((-m)^2 - 4(1)(4))) / (2(1))

Упростим это уравнение, чтобы найти значения коэффициента m:

3 - sqrt(5) = (m ± sqrt(m^2 - 16)) / 2

Раскроем скобки:

6 - 2sqrt(5) = m ± sqrt(m^2 - 16)

Теперь можем рассмотреть два случая:

Случай 1: m + sqrt(m^2 - 16) = 6 - 2sqrt(5)

Возведем обе части уравнения в квадрат:

(m + sqrt(m^2 - 16))^2 = (6 - 2sqrt(5))^2

Раскроем скобки:

m^2 + 2m*sqrt(m^2 - 16) + (m^2 - 16) = 36 - 24sqrt(5) + 20

Упростим:

2m^2 + 2m*sqrt(m^2 - 16) - 4sqrt(5) = 56

Разделим обе части на 2:

m^2 + m*sqrt(m^2 - 16) - 2sqrt(5) = 28

Поскольку мы ищем целые значения m, то m*sqrt(m^2 - 16) также должно быть целым числом. Возможные целые значения m, которые удовлетворяют этому уравнению, можно найти численным методом, например, подставляя различные значения m и проверяя, являются ли обе стороны уравнения целыми числами.

Случай 2: m - sqrt(m^2 - 16) = 6 - 2sqrt(5)

Аналогично первому случаю, возведем обе части уравнения в квадрат:

(m - sqrt(m^2 - 16))^2 = (6 - 2sqrt(5))^2

Раскроем скобки:

m^2 - 2m*sqrt(m^2 - 16) + (m^2 - 16) = 36 - 24sqrt(5) + 20

Упростим:

2m^2 - 2m*sqrt(m^2 - 16) - 4sqrt(5) = 56

Разделим обе части на 2:

m^2 - m*sqrt(m^2 - 16) - 2sqrt(5) = 28

Аналогично первому случаю, мы можем использовать численные методы для поиска целых значений m, которые удовлетворяют этому уравнению.

Итак, чтобы найти целые значения коэффициента m, при которых 3 - sqrt(5) является одним из решений уравнения x^2 - mx + 4 = 0, мы должны решить два уравнения: одно для случая m + sqrt(m^2 - 16) = 6 - 2sqrt(5) и другое для случая m - sqrt(m^2 - 16) = 6 - 2sqrt(5). Затем мы должны найти целые значения m, которые удовлетворяют обоим уравнениям. Это можно сделать численными методами или подстановкой различных значений m и проверкой, удовлетворяют ли оба уравнения.