Question

Вычислите площадь фигуры ограниченной линиями y=2-x2, y=0,x=-1,x=0

Answer 1

$\int\limits^0_{-1} ({2-x^2}) \, dx = \int\limits^0_{-1} 2\, dx -\int\limits^0_{-1} x^2} \, dx =$
$= 2x|_{-1}^2 - \frac{1}{3} x^3 |_{-1}^2} = 4+2- \frac{1}{3}(8+1)=6-3=3$ кв. ед.

Answer 2

Для вычисления площади фигуры, ограниченной указанными линиями, нужно найти площадь между кривыми y=2-x^2 и y=0 на отрезке от x=-1 до x=0.

Сначала найдем точки пересечения этих двух кривых. Подставим y=0 в уравнение y=2-x^2 и решим полученное уравнение относительно x:

0 = 2-x^2 x^2 = 2 x = ±√2

Таким образом, точки пересечения находятся при x=-√2 и x=√2.

Для вычисления площади между кривыми на указанном отрезке, нужно взять интеграл от разности этих функций по x на этом отрезке:

∫[от -√2 до 0] (2-x^2 - 0) dx + ∫[от 0 до √2] (0 - 2-x^2) dx

Вычислим каждый интеграл по отдельности:

∫[от -√2 до 0] (2-x^2) dx = [2x - (x^3)/3] (от -√2 до 0) = 2(0) - (0 - (-√2)^3)/3 = -2√2/3

∫[от 0 до √2] (0 - 2-x^2) dx = [-2x - (x^3)/3] (от 0 до √2) = -2(√2) - (√2)^3/3 = -2√2 - 2√2/3 = -8√2/3

Теперь найдем сумму этих двух интегралов:

(-2√2/3) + (-8√2/3) = -10√2/3

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной указанными линиями, равна -10√2/3.