Question

Сколько нужно взять членов арифметической прогрессии 8; 12; 16; ... , чтобы их сумма была равна 260?

Answer 1

Ну наверное 260:4=65, вроде так

Answer 2

Для решения этой задачи мы можем воспользоваться формулой для суммы первых \(n\) членов арифметической прогрессии. Формула для суммы \(S_n\) такой прогрессии выглядит следующим образом:

\[ S_n = \frac{n}{2} \cdot (2a + (n-1)d), \]

где \(a\) - первый член прогрессии, \(d\) - разность прогрессии, \(n\) - количество членов прогрессии.

В данной задаче у нас дана сумма (\(S_n = 260\)), первый член (\(a = 8\)) и разность (\(d = 12 - 8 = 4\)). Мы должны найти количество членов (\(n\)). Подставим известные значения в формулу:

\[ 260 = \frac{n}{2} \cdot (2 \cdot 8 + (n-1) \cdot 4). \]

Раскроем скобки:

\[ 260 = \frac{n}{2} \cdot (16 + 4n - 4). \]

Упростим уравнение:

\[ 260 = \frac{n}{2} \cdot (4n + 12). \]

Далее умножим обе стороны на 2, чтобы избавиться от дроби:

\[ 520 = n \cdot (4n + 12). \]

Раскроем скобки:

\[ 520 = 4n^2 + 12n. \]

Приведем уравнение к квадратному виду:

\[ 4n^2 + 12n - 520 = 0. \]

Теперь решим это квадратное уравнение. Для этого можно воспользоваться, например, методом дискриминанта:

\[ D = b^2 - 4ac, \]

где \(a = 4\), \(b = 12\), \(c = -520\).

\[ D = 12^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-520) = 144 + 8320 = 8464. \]

Так как дискриминант положителен, у уравнения есть два вещественных корня:

\[ n_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}. \]

Подставим значения:

\[ n_{1,2} = \frac{-12 \pm \sqrt{8464}}{2 \cdot 4}. \]

\[ n_{1,2} = \frac{-12 \pm 92}{8}. \]

Теперь найдем два значения \(n\):

\[ n_1 = \frac{-12 + 92}{8} = \frac{80}{8} = 10, \]

\[ n_2 = \frac{-12 - 92}{8} = \frac{-104}{8} = -13. \]

Отрицательное значение \(n\) в данной задаче не имеет смысла, поэтому мы отбрасываем \(n_2\).

Итак, чтобы сумма первых \(n\) членов арифметической прогрессии 8, 12, 16, ... была равна 260, нужно взять 10 членов этой прогрессии.