Question

1-2cos^2(x)=sin(pi-x) на промежутке [9пи/2; 13пи/2]

Answer 1

$1-2\cos^2x=\sin( \pi -x) \\\ 1-2(1-\sin^2x)=\sin x \\\ 1-2+2\sin^2x=\sin x \\\ 2\sin^2x-\sin x-1=0 \\\ \sin x=1 \Rightarrow x_1= \frac{ \pi }{2}+2 \pi n, \ n\in Z \\\ \sin x=- \frac{1}{2} \Rightarrow x_2=- \frac{ \pi }{6}+2 \pi n; \ x_2=- \frac{5 \pi }{6}+2 \pi n; \ n\in Z$
Рассмотрим полученные серии корней:
1.
$\frac{9 \pi }{2} \leq \frac{ \pi }{2}+2 \pi n \leq \frac{13 \pi }{2} \\\ \frac{9 }{2} \leq \frac{ 1 }{2}+2 n \leq \frac{13 }{2} \\\ 9 \leq 1+4 n \leq 13 \\\ 8 \leq 4 n \leq 12 \\\ 2 \leq n \leq 3 \\\ n=2: \ x= \frac{ \pi }{2}+2 \pi \cdot 2= \frac{ \pi }{2}+4 \pi=\frac{ 9\pi }{2} \\\ n=3: \ x= \frac{ \pi }{2}+2 \pi \cdot 3= \frac{ \pi }{2}+6 \pi=\frac{ 13\pi }{2}$
2.
$\frac{9 \pi }{2} \leq -\frac{ \pi }{6}+2 \pi n \leq \frac{13 \pi }{2} \\\ \frac{9 }{2} \leq -\frac{ 1 }{6}+2 n \leq \frac{13 }{2} \\\ \frac{9 }{2}+\frac{ 1 }{6} \leq 2 n \leq \frac{13 }{2}+\frac{ 1 }{6} \\\ \frac{27 }{6}+\frac{ 1 }{6} \leq 2 n \leq \frac{39 }{6}+\frac{ 1 }{6} \\\ \frac{28 }{6} \leq 2 n \leq \frac{40 }{6} \\\ \frac{14 }{6} \leq n \leq \frac{20 }{6} \\\ n=3: \ x=-\frac{ \pi }{6}+2 \pi \cdot 3=-\frac{ \pi }{6}+6 \pi = \frac{35 \pi }{6}$
3.
$\frac{9 \pi }{2} \leq -\frac{5 \pi }{6}+2 \pi n \leq \frac{13 \pi }{2} \\\ \frac{9 }{2} \leq -\frac{ 5 }{6}+2 n \leq \frac{13 }{2} \\\ \frac{9 }{2}+\frac{ 5 }{6} \leq 2 n \leq \frac{13 }{2}+\frac{ 5 }{6} \\\ \frac{27 }{6}+\frac{ 5 }{6} \leq 2 n \leq \frac{39 }{6}+\frac{ 5 }{6} \\\ \frac{32 }{6} \leq 2 n \leq \frac{44 }{6} \\\ \frac{16 }{6} \leq n \leq \frac{22 }{6} \\\ n=3: \ x=-\frac{5 \pi }{6}+2 \pi \cdot 3=-\frac{5 \pi }{6}+6 \pi = \frac{31 \pi }{6}$
Ответ: 9п/2; 13п/2; 35п/6; 25п/6

Answer 2

Давайте разберемся с уравнением постепенно.

Исходное уравнение: 1 - 2cos^2(x) = sin(pi - x)

Сначала рассмотрим правую часть уравнения. Мы имеем sin(pi - x). Здесь используется тригонометрическое тождество, которое гласит, что sin(pi - x) = sin(x). Таким образом, уравнение можно переписать следующим образом:

1 - 2cos^2(x) = sin(x)

Теперь мы можем использовать тригонометрическую формулу, которая гласит, что cos^2(x) = 1 - sin^2(x). Подставим это в уравнение:

1 - 2(1 - sin^2(x)) = sin(x)

Раскроем скобки:

1 - 2 + 2sin^2(x) = sin(x)

Упростим:

2sin^2(x) - sin(x) - 1 = 0

Теперь мы имеем квадратное уравнение относительно sin(x). Чтобы его решить, можно использовать квадратное уравнение:

sin(x) = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)

Где a = 2, b = -1 и c = -1.

Подставим значения:

sin(x) = (1 ± √(1 + 8)) / 4

sin(x) = (1 ± √9) / 4

sin(x) = (1 ± 3) / 4

Таким образом, у нас есть два возможных значения sin(x):

1) sin(x) = (1 + 3) / 4 = 4 / 4 = 1 2) sin(x) = (1 - 3) / 4 = -2 / 4 = -1/2

Теперь мы можем найти соответствующие значения x, используя обратные тригонометрические функции.

1) Когда sin(x) = 1, значит x = pi/2

2) Когда sin(x) = -1/2, значит x = 7pi/6 и x = 11pi/6

Таким образом, решениями уравнения 1 - 2cos^2(x) = sin(pi - x) на промежутке [9pi/2; 13pi/2] являются x = pi/2, x = 7pi/6 и x = 11pi/6.