Question

Sin^2(2x)-sin(4x)=3cos^2(2x)

Answer 1

Sin^2(2x)-2sin(2x)*cos(2x)-3cos^2(2x)=0
sin2x*cos2x(sin(2x)/cos(2x)-3cos(2x)/sin(2x)-2)=0

sin2x*cos2x=0
sin2x=0
2x=0+pi*n
x=0+pi*n/2
cos2x=0
2x=pi/2+pi*n
x=pi/4+pi*n/2

sin(2x)/cos(2x)-3cos(2x)/(sin2x)-2=0
tg2x-3ctg2x-2=0
1/ctg2x-3ctg2x-2=0
-3ctg^2(2x)-2ctg(2x)+1=0
ctg(2x)=y
-3y^2-2y+1=0
3y^2+2y-1=0
D=4+12=16
y1=(-2+4)/6=2/6=1/3
y2=-1
ctg2x=1/3
2x=arctg(3)+pi*n
x=atctg(3)/2+pi*n/2
ctg2x=-1
2x=-pi/4+pi*n
x=-pi/8+pi*n/2
но корни pi*n/2; pi/4+pi*n/2; -pi/8+pi*n/2 имеют одинаковый период и при определенных значениях n будут равны, следовательно эти корни можно записать самым меньшим корнем: x=-pi/8+pi*n/2
Ответ: x1=-pi/8+pi*n/2; x2=arctg(3)/2+pi*n/2

Answer 2

Sin²2x-2sin2xcos2x-3cos²2x=0/cos²2x
tg²2x-2tg2x-3=0
tg2x=a
a²-2a-3=0
a1+a2=2 U a1*a2=-3
a1=-1⇒tg2x=-1⇒2x=-π/4+πk⇒x=-π/8+πk/2,k∈z
a2=3⇒tg2x=3⇒2x=arctg3+πk⇒x=1/2*arctg3+πk/2,k∈z

Answer 3

Для решения данного уравнения, давайте взглянем на каждую его часть по отдельности и применим некоторые тригонометрические тождества.

Данное уравнение содержит тригонометрические функции sin и cos, и мы можем использовать различные тригонометрические тождества для упрощения выражений.

Исходное уравнение: sin^2(2x) - sin(4x) = 3cos^2(2x)

Сначала давайте заменим sin^2(2x) с помощью тригонометрического тождества: sin^2(θ) = (1 - cos(2θ)) / 2.

Теперь уравнение примет вид: (1 - cos(4x)) / 2 - sin(4x) = 3cos^2(2x)

Умножим каждую часть уравнения на 2, чтобы избавиться от дробей:

1 - cos(4x) - 2sin(4x) = 6cos^2(2x)

Далее, заменим cos^2(2x) с помощью тригонометрического тождества: cos^2(θ) = (1 + cos(2θ)) / 2.

Теперь уравнение примет вид: 1 - cos(4x) - 2sin(4x) = 6(1 + cos(4x)) / 2

Упростим выражение:

1 - cos(4x) - 2sin(4x) = 3 + 3cos(4x)

Теперь объединим все члены с cos(4x) и sin(4x) на одной стороне уравнения:

1 - 3 - cos(4x) + 2sin(4x) - 3cos(4x) = 0

-2 - 4cos(4x) + 2sin(4x) = 0

Теперь мы имеем линейное уравнение относительно sin(4x) и cos(4x).

Для решения этого уравнения мы можем использовать тригонометрическое тождество: sin(θ) = 2sin(θ/2)cos(θ/2).

Применим это тождество к уравнению:

-2 - 4cos(4x) + 2(2sin(2x)cos(2x)) = 0

-2 - 4cos(4x) + 4sin(2x)cos(2x) = 0

Теперь мы получили уравнение, содержащее только sin и cos с различными углами. Для решения такого уравнения можно использовать дополнительные тригонометрические тождества или применить методы решения линейных уравнений.

Надеюсь, эта подробная информация поможет вам решить уравнение. Если у вас возникнут дополнительные вопросы, пожалуйста, дайте мне знать!