Question

1/1*2+1/2*3+.....1/n(n+1) Использую представление каждого из слагаемых Ввиду разности 2 дробей

Answer 1

$\frac{1}{1\cdot2}+ \frac{1}{2\cdot3}+ ...+ \frac{1}{n(n+1)}= 1- \frac{1}{2}+\frac{1}{2}- \frac{1}{3}+...+\frac{1}{n}- \frac{1}{n+1} =1- \frac{1}{n} , \\ \frac{1}{1\cdot2}=1- \frac{1}{2}, \\ \frac{1}{2\cdot3}= \frac{1}{2}- \frac{1}{3}= \frac{3-2}{2\cdot3} , \\ ...... \\ \frac{1}{n(n+1)}= \frac{1}{n}- \frac{1}{n+1} = \frac{(n+1)-n}{n(n+1)} ,$

Answer 2

Данная сумма представляет собой ряд, где каждое слагаемое имеет вид \(\frac{1}{k(k+1)}\), где \(k\) принимает значения от 1 до \(n\). Давайте разберемся с этим рядом.

Сначала представим каждое слагаемое в виде разности двух дробей:

\[\frac{1}{k(k+1)} = \frac{A}{k} - \frac{B}{k+1}\]

Домножим обе стороны на \(k(k+1)\), чтобы избавиться от знаменателей:

\[1 = A(k+1) - Bk\]

Раскроем скобки и сгруппируем по \(k\):

\[1 = Ak + A - Bk\]

Теперь сравним коэффициенты при одинаковых степенях \(k\). Коэффициент при \(k\) с левой стороны равен 0, поэтому:

\[A - B = 0 \implies A = B\]

Теперь вернемся к исходному выражению и подставим полученные значения \(A\) и \(B\):

\[\frac{1}{k(k+1)} = \frac{A}{k} - \frac{A}{k+1}\]

Теперь выражение для частного каждого слагаемого в ряде у нас есть, и мы можем записать сумму первых \(n\) слагаемых:

\[\sum_{k=1}^{n} \left(\frac{1}{k} - \frac{1}{k+1}\right)\]

Это выражение можно упростить, и многие члены сократятся:

\[\left(1 - \frac{1}{2}\right) + \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{3}\right) + \left(\frac{1}{3} - \frac{1}{4}\right) + \ldots + \left(\frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}\right)\]

Заметим, что многие члены сократятся, и в конечном итоге у нас останется только первое слагаемое \(1 - \frac{1}{n+1}\). Таким образом, сумма данного ряда будет:

\[1 - \frac{1}{n+1}\]