Question

Для геометрической прогрессии {un} выполнены равенства u1 +u5=51 и u2+u6=102. При каком значении n верно равенство Sn=3069

Answer 1

$u_1 + u_5 = 51\\\\ u_2 + u_6 = 102\\\\ u_2 = u_1*d, \ u_6 = u_5*d\\\\ d*(u_1 + u_5) = 102\\\\ d = 2\\\\ u_5 = u_1*d^4\\\\ u_1 + u_1*d^4 = 51\\\\ u_1 = \frac{51}{1 + 16} = 3\\\\ S_n = u_1*\frac{d^n -1}{d - 1} = 3069\\\\ 3*2^n - 3 = 3069\\\\ 3*2^n = 3072\\\\ 2^n = 1024\\\\ \boxed{n = 10}$

Answer 2

Давайте рассмотрим геометрическую прогрессию \(\{u_n\}\) с первым членом \(u_1\) и множителем \(q\). Тогда формула для \(n\)-го члена этой прогрессии будет \(u_n = u_1 \cdot q^{(n-1)}\).

Мы знаем, что \(u_1 + u_5 = 51\) и \(u_2 + u_6 = 102\).

1. Уравнение \(u_1 + u_5 = 51\): \[u_1 + u_1 \cdot q^4 = 51\]

2. Уравнение \(u_2 + u_6 = 102\): \[u_1 \cdot q + u_1 \cdot q^5 = 102\]

Теперь мы можем решить эту систему уравнений относительно \(u_1\) и \(q\). Выражение для \(u_1\) найдено путем выделения общего множителя:

\[u_1 \cdot (1 + q^4) = 51\]

Отсюда находим \(u_1\):

\[u_1 = \frac{51}{1 + q^4}\]

Теперь подставим \(u_1\) во второе уравнение:

\[\frac{51}{1 + q^4} \cdot q + \frac{51}{1 + q^4} \cdot q^5 = 102\]

Упростим выражение и решим уравнение относительно \(q\).

Теперь, у нас есть выражение для \(u_1\) и значение \(q\). Мы также знаем, что сумма первых \(n\) членов геометрической прогрессии \(S_n\) выражается следующей формулой:

\[S_n = u_1 \cdot \frac{q^n - 1}{q - 1}\]

Теперь, у нас есть уравнение \(S_n = 3069\), и мы можем использовать его, чтобы найти \(n\):

\[u_1 \cdot \frac{q^n - 1}{q - 1} = 3069\]

Подставим известные значения \(u_1\) и \(q\) в это уравнение и решим его относительно \(n\).