Question

Прямая y=6x+3 является касательной к графику функции ax^2-22x+10. Найдите a

Answer 1

Я просто составляю уравнение касательной к заданному графику в точке х₀
f(x₀)=ax₀²-22x+10
f'(x₀)=6
Уравнение касательной y=ax₀²-22x₀+10+6(x-x₀)=6x+ax₀²-28x₀+10
ax₀²-28x₀+10=3 т.к. уравнение касательной по условию y=6x+3
ax₀²-28x₀+7=0
D=784-28a Уравнение имеет один корень, если D=0
784-28a=0
28a=784
a=28

Answer 2

Чтобы прямая \(y = 6x + 3\) была касательной к графику функции \(y = ax^2 - 22x + 10\), нужно, чтобы уравнение этой прямой имело единственное решение с уравнением функции в данной точке касания. Так как касание происходит в одной точке, это означает, что уравнения прямой и функции совпадают в этой точке, и их производные также совпадают в данной точке.

Уравнение функции: \(y = ax^2 - 22x + 10\)

Производная функции по x (первая производная): \(y' = 2ax - 22\)

Теперь найдем точку касания. Поскольку прямая \(y = 6x + 3\) касается графика функции, уравнение прямой должно совпадать с уравнением функции в данной точке:

\[6x + 3 = ax^2 - 22x + 10\]

Теперь найдем x:

\[ax^2 - 28x + 7 = 0\]

Это квадратное уравнение, и чтобы оно имело единственное решение (что соответствует точке касания), дискриминант должен быть равен нулю:

\[D = (-28)^2 - 4a(7) = 0\]

Решим уравнение для \(D\):

\[784 - 28a = 0\]

\[28a = 784\]

\[a = \frac{784}{28} = 28\]

Итак, значение \(a = 28\), чтобы прямая \(y = 6x + 3\) была касательной к графику функции \(y = ax^2 - 22x + 10\).