Question

Решить уравнение sin(2x-7pi/2)+sin(3pi/2-8x)+cos(6x)=1

Answer 1

Sin(2x -7π/2) +sin(3π/2 -8x) +cos6x =1;
sin(-(7π/2 -2x)) -cos8x+cos6x =1 ;
-sin(7π/2 -2x) -cos8x+cos6x =1  ;  
* * *sin(7π/2 -2x) =  sin(4π-(π/2 +2x)) = -sin(π/2 +2x) = -cos2x * * *
cos2x -cos8x +cos6x -1 =0 ;
cos6x +cos2x -(1+cos8x) =0 ;  * * *или cos2x -cos8x  -(1-cos6x) =0  * * *
2cos4xcos2x -2cos²4x =0 ;
2cos4x(cos2x -cos4x) =0 ;
2cos4x*2sinx*sin3x =0 ;
4sinx*sin3x*cos4x=0 ;
[sinx =0 ; sin3x =0 ; cos3x =0 .
[ x=πk ; x=πk/3 ; 3x =π/2 +πk  , k∈Z.
объединяя решении :
[x = πk/3 ; x =π/6 + (π/3)* k   , k∈Z. 

ответ : πk/3 ;  x =π/6 +(π/3)* k , k∈Z.

Answer 2

Для начала решим уравнение `sin(2x-7pi/2) + sin(3pi/2-8x) + cos(6x) = 1`.

Для удобства, введем новую переменную `y = 2x - 7pi/2`. Тогда уравнение будет выглядеть следующим образом:

`sin(y) + sin(3pi/2-8x) + cos(6x) = 1`.

Заметим, что `sin(3pi/2-8x) = -sin(8x-3pi/2)`. Теперь уравнение примет вид:

`sin(y) - sin(8x-3pi/2) + cos(6x) = 1`.

Далее, используем тригонометрическую формулу разности синусов:

`(sin(y) + cos(8x-3pi/2))cos(y) + (cos(y) - sin(8x-3pi/2))sin(y) = 1`.

Сгруппируем слагаемые:

`(2cos(y)cos(8x-3pi/2)) + (-2sin(y)sin(8x-3pi/2)) = 1`.

Применим сумму косинуса и синуса:

`2cos(y+(8x-3pi/2)) = 1`.

Теперь найдем обратный косинус:

`cos^(-1)(2cos(y+(8x-3pi/2))) = cos^(-1)(1)`.

Распишем обратный косинус суммы:

`2cos(y+(8x-3pi/2)) = 0`.

Разделим обе части равенства на 2:

`cos(y+(8x-3pi/2)) = 0`.

Найдем решения этого нового уравнения. Для этого рассмотрим два возможных случая:

1. `cos(y+(8x-3pi/2)) = 0`. Решаем это уравнение вместе с оригинальным уравнением. Если `cos(y+(8x-3pi/2)) = 0`, то `y + (8x-3pi/2) = pi/2 + k*pi`, где k - целое число. Тогда можем выразить `x` через `y`: `x = (3pi/2 + pi/2 - y) / 8`. Подставляем в исходное уравнение `y`: `sin(y) + sin(3pi/2-8((3pi/2 + pi/2 - y) / 8)) + cos(6((3pi/2 + pi/2 - y) / 8)) = 1`. Упрощаем и получаем: `sin(y) + sin(3pi/2 - (3pi/2 + pi/2 - y)) + cos(6((3pi/2 + pi/2 - y) / 8)) = 1`. `sin(y) + sin(y) + cos(6((3pi/2 + pi/2 - y) / 8)) = 1`.

2. Второй возможный случай - `cos(y+(8x-3pi/2)) ≠ 0`. Решаем это уравнение вместе с оригинальным уравнением. `cos(y+(8x-3pi/2)) = 0` не имеет решений в этом случае.

Таким образом, мы получили два уравнения:

1. `sin(y) + sin(y) + cos(6((3pi/2 + pi/2 - y) / 8)) = 1`. 2. `cos(y+(8x-3pi/2)) = 0`.

Осталось решить данные уравнения для `y` и проверить каждое полученное значение `y` в исходном уравнении, чтобы найти `x`.