Question

1. Из точки N(-10;-69) к параболе y=x^2 проведены касательные. Найти их уравнения.2. На отрезке [ π ; 1,5π ] задана функция f(x)=2*sin^2x +√3*sin2x. К ее графику проведена касательная, параллельная прямой y=4x+1. Найдите координаты точки касания.

Answer 1

Y=x^2
y`=2x
уравнение касательной
(у-y0)/(x-x0)=2x1
точку касания найдем так
(x1^2-y0)/(х1-x0)=2x1
(x1^2-y0)=2(х1-x0)x1x1^2-y0=2х1^2-2x0x1х1^2-2x0x1+y0=0х1^2+20x1-69=0
x1=3 или x1=-23
уравнение касательной
(у+69)/(x+10)=6 или (у+69)/(x+10)=-46
у=6(x+10)-69 или у=-46(x+10)-69
у=6x-9 или у=-46x-529 - это ответ


2.
На отрезке [ π ; 1,5π ] задана функция f(x)=2*sin^2x +√3*sin2x. К ее
графику проведена касательная, параллельная прямой y=4x+1. Найдите
координаты точки касания.

f(x)=2*sin^2x +√3*sin2x
f`=2*2*sinx*cosx +2*√3*cos2x=2*(sin2x +√3*cos2x)=4*(sin2x*1/2 +√3/2*cos2x)=
4*(sin(2x+pi/3))=4
sin(2x+pi/3) = 1
(2x+pi/3) = pi/2+2pi*k
2x= pi/6+2pi*k
x= pi/12+pi*k
на участке [ π ; 1,5π ] x= pi/12+pi = 13*pi/12
f(x=13*pi/12)=2*sin^2(13*pi/12) +√3*sin(2*13*pi/12)= 1
ответ (13*pi/12;1)

Answer 2

1. Найдем уравнения касательных, проведенных из точки N(-10, -69) к параболе y=x^2.

Для того чтобы найти уравнения касательных, проведенных из данной точки к параболе, нам понадобится знать координаты точки касания и угол наклона касательной.

Сначала найдем координаты точки касания. Поскольку касательная проведена из точки N(-10, -69), она должна касаться параболы в этой точке. Подставим координаты точки N в уравнение параболы и решим полученное уравнение:

y = x^2 -69 = (-10)^2 -69 = 100

Это уравнение не имеет решений, поэтому точка N(-10, -69) не лежит на параболе y=x^2. Следовательно, касательные, проведенные из этой точки к параболе, не существуют.

2. Найдем координаты точки касания искомой касательной к графику функции f(x)=2*sin^2x + √3*sin2x, которая параллельна прямой y=4x+1.

Для начала найдем производную функции f(x) по x, чтобы найти угол наклона касательной:

f(x) = 2*sin^2x + √3*sin2x

Для удобства, обозначим sin^2x как a и sin2x как b:

f(x) = 2a + √3b

Производная функции f(x) равна:

f'(x) = d(2a + √3b)/dx = d(2a)/dx + d(√3b)/dx = 2(da/dx) + (√3)(db/dx)

Теперь найдем производные a и b по x:

a = sin^2x da/dx = d(sin^2x)/dx = 2sinx * d(sinx)/dx = 2sinx * cosx

b = sin2x db/dx = d(sin2x)/dx = 2cos2x * d(2x)/dx = 4cos2x

Подставим найденные производные в выражение для f'(x):

f'(x) = 2(da/dx) + (√3)(db/dx) = 2(2sinx * cosx) + (√3)(4cos2x) = 4sinx * cosx + 4√3cos2x

Теперь найдем угол наклона касательной, равный значению производной в точке x:

4sinx * cosx + 4√3cos2x = 4

Решим это уравнение для x, чтобы найти точку касания:

4sinx * cosx + 4√3cos2x - 4 = 0

Для решения этого уравнения потребуется численные методы или использование компьютерного программного обеспечения.

Как только мы найдем значение x, мы можем подставить его обратно в исходную функцию f(x) для нахождения соответствующих значений y.

Таким образом, координаты точки касания будут (x, y).