Question

Решите уравнение, пожалуйста: √2cos2 x=sin(x-п\2)

Answer 1

2cos^2x=sin(x-п/2)
2cos^2x=-cosx
2cos^2x-cosx=0
cosx(2cosx-1)=0
cosx=0
x=+-п/2+2пn

2cosx+1=0
2cosx=-1
cosx=1/2
x=+-п/3+2пn

Answer 2

Давайте рассмотрим уравнение и попробуем его решить. Уравнение выглядит следующим образом:

\[ \sqrt{2} \cos^2(x) = \sin(x - \frac{\pi}{2}) \]

Для начала преобразуем его, чтобы избавиться от корня. Возведем обе стороны уравнения в квадрат:

\[ 2 \cos^2(x) = \sin^2(x - \frac{\pi}{2}) \]

Теперь воспользуемся тригонометрическими тождествами. Используем тождество \(\sin^2(\theta) + \cos^2(\theta) = 1\), чтобы заменить \(\sin^2(x - \frac{\pi}{2})\):

\[ 2 \cos^2(x) = 1 - \cos^2(x - \frac{\pi}{2}) \]

Теперь раскроем косинус разности углов (\(\cos(a - b) = \cos a \cos b + \sin a \sin b\)):

\[ 2 \cos^2(x) = 1 - [\cos x \cos(\frac{\pi}{2}) + \sin x \sin(\frac{\pi}{2})]^2 \]

Так как \(\cos(\frac{\pi}{2}) = 0\) и \(\sin(\frac{\pi}{2}) = 1\), упростим уравнение:

\[ 2 \cos^2(x) = 1 - \sin^2(x) \]

Теперь заменим \(\sin^2(x)\) на \(1 - \cos^2(x)\), используя тождество \(\sin^2(\theta) = 1 - \cos^2(\theta)\):

\[ 2 \cos^2(x) = 1 - (1 - \cos^2(x)) \]

Раскроем скобки:

\[ 2 \cos^2(x) = \cos^2(x) \]

Теперь приведем подобные члены и преобразим уравнение:

\[ \cos^2(x) = 1 \]

Отсюда следует, что:

\[ \cos(x) = \pm 1 \]

Теперь найдем все значения \(x\), удовлетворяющие этому уравнению. Это происходит в следующих точках:

1. \(x = 2\pi k\), где \(k\) - целое число. 2. \(x = 2\pi k + \pi\), где \(k\) - целое число.

Таким образом, уравнение имеет бесконечное множество решений.