Question

Розв*яжіть нерівність: Х3-х2≥2х

Answer 1

X³-x²-2x≥0
x(x²-x-2)≥0
x=0
x²-x-2=0
x1+x2=1 U x1*x2=-2⇒x1=-1  x2=2
             _                +             _                +
---------------[-1]-----------[0]------------[2]-------------
 x∈[-1;0] U [2;∞)           

Answer 2

Давайте розв'яжемо дану кубічну нерівність:

\[ x^3 - x^2 \geq 2x \]

1. Спробуємо привести всі члени нерівності на одну сторону, а нерівність на іншу:

\[ x^3 - x^2 - 2x \geq 0 \]

2. Тепер спробуємо скоротити цей вираз:

\[ x(x^2 - x - 2) \geq 0 \]

3. Розкладемо квадратний тричлен \( x^2 - x - 2 \) на множники:

\[ x(x - 2)(x + 1) \geq 0 \]

Отримали розкладений вигляд нерівності. Тепер важливо визначити, при яких значеннях \( x \) цей вираз буде більше або рівний нулю.

4. Розглянемо три інтервали, які визначаються коренями рівнянь \( x = 0 \), \( x - 2 = 0 \) і \( x + 1 = 0 \):

- Інтервал 1: \( x < -1 \) - Інтервал 2: \(-1 < x < 0 \) - Інтервал 3: \( x > 2 \)

5. Взяти тестове значення \( x \) в кожному інтервалі, наприклад, \( x = -2 \) для інтервалу 1, \( x = -0.5 \) для інтервалу 2, і \( x = 3 \) для інтервалу 3. Підставте ці значення в оригінальну нерівність:

- Інтервал 1 (\( x < -1 \)): \((-2)(-4)(-1) \geq 0\) - правда - Інтервал 2 (\(-1 < x < 0\)): \((-0.5)(1)(-1) \geq 0\) - неправда - Інтервал 3 (\( x > 2 \)): \((3)(1)(4) \geq 0\) - правда

6. Отже, розв'язок нерівності \( x(x - 2)(x + 1) \geq 0 \) - це об'єднання інтервалів, де нерівність виконується:

\[ x \in (-\infty, -1] \cup (2, \infty) \]

Отже, розв'язок даної нерівності - це множина всіх дійсних чисел \( x \), таких що \( x \leq -1 \) або \( x > 2 \).