Question

Докажите неравенство a^2-8ab+17 b^2-2b+3>0

Answer 1

Правая часть неравенства может быть преобразована так: (a-4b)^2+b^2-2b+1+2  .
Значит неравенство приобретает вид:
(a-4b)^2+(b-1)^2>-2
Что очевидно, т.к. слева выражение неотрицательно, а справа отрицательно.

Answer 2

Для начала, давайте преобразуем данное неравенство:

a^2 - 8ab + 17 + b^2 - 2b + 3 > 0

a^2 - 8ab + b^2 - 2b + 20 > 0

Теперь давайте рассмотрим это неравенство как квадратное уравнение относительно переменной "a":

(a^2 - 8ab + b^2) + (-2b + 20) > 0

(a - b)^2 + (-2b + 20) > 0

Теперь мы можем рассмотреть два случая:

1. Если (-2b + 20) > 0, то это означает, что -2b + 20 ≠ 0, и мы можем поделить обе части неравенства на это выражение без изменения неравенства:

(a - b)^2 / (-2b + 20) + (-2b + 20) / (-2b + 20) > 0

(a - b)^2 / (-2b + 20) + 1 > 0

(a - b)^2 / (-2b + 20) > -1

Так как квадрат любого числа всегда неположителен или равен нулю, то (a - b)^2 всегда неотрицательно