Question

Квадратный трехчлен x^2+ ax+b имеет целые корни по модулю >2. Док,что число a+b+1-составное.

Answer 1

Пусть x1,x2-корни уравнения. По  теореме  Виета:
a=-(x1+x2) b=x1x2
P=a+b+1=1-x1-x2 +x1x2=  -(x1-1) +x2(x1-1)=(x2-1)(x1-1) 
То  есть  представимо в виде произведения   2 целых множителей .
Причем  раз x1>2 x2>2    x2-1>1  x2-1>1 . То  есть не 1  из множителей не  может быть равен 1. А  значит  число P=a+b+1 cоставное

Answer 2

Давайте рассмотрим квадратный трехчлен \(x^2 + ax + b\) с целыми коэффициентами, где \(a\) и \(b\) — целые числа. Предположим, что этот трехчлен имеет целые корни по модулю больше 2. То есть, существует такое целое число \(m > 2\), что \(x^2 + ax + b \equiv 0 \pmod{m}\) имеет целочисленные корни.

Если \(x_1\) и \(x_2\) — целочисленные корни этого трехчлена, то у нас есть следующие соотношения:

\[ \begin{align*} x_1^2 + ax_1 + b &\equiv 0 \pmod{m} \\ x_2^2 + ax_2 + b &\equiv 0 \pmod{m} \end{align*} \]

Вычитаем одно уравнение из другого:

\[ x_1^2 - x_2^2 + a(x_1 - x_2) \equiv 0 \pmod{m} \]

Это можно факторизовать, применяя разность квадратов:

\[ (x_1 - x_2)(x_1 + x_2 + a) \equiv 0 \pmod{m} \]

Так как \(m > 2\), у нас есть два случая:

1. \(x_1 - x_2 \equiv 0 \pmod{m}\), что означает, что \(x_1 \equiv x_2 \pmod{m}\). 2. \(x_1 + x_2 + a \equiv 0 \pmod{m}\), что означает, что \(x_1 + x_2 \equiv -a \pmod{m}\).

Оба этих случая приводят к тому, что сумма корней \(x_1 + x_2\) имеет остаток по модулю \(m\), равный либо 0, либо \(-a\).

Теперь рассмотрим выражение \(a + b + 1\). Если \(x_1 + x_2\) равно 0, то \(a + b + 1\) также равно 0. Если \(x_1 + x_2 \equiv -a \pmod{m}\), то прибавление к этому \(a\) дает \(x_1 + x_2 \equiv 0 \pmod{m}\), и затем \(a + b + 1 \equiv b + 1 \pmod{m}\).

Таким образом, в обоих случаях \(a + b + 1\) имеет остаток по модулю \(m\), который равен либо 0, либо \(b + 1\). Это означает, что \(a + b + 1\) не делится на \(m\) и, следовательно, не является простым числом.

Таким образом, мы доказали, что если у квадратного трехчлена \(x^2 + ax + b\) с целыми коэффициентами есть целые корни по модулю больше 2, то число \(a + b + 1\) составное.