Question

Найти первообразную в общем виде f(x) =5sin x/5 + cost2x

Answer 1

$f(x)=5*sin \frac{x}{5} +cos2x$
$f(x)=5*sin( \frac{1}{5}*x )+cos2x$
$F(x)=5*(-cos( \frac{1}{5}*x) )*(1: \frac{1}{5} )+sin2x*(1:2)+C=$
$=-25*cos \frac{x}{5}+ \frac{1}{2}*sin2x+C$

Answer 2

Чтобы найти первообразную функции f(x) = 5sin(x/5) + cos(2x) в общем виде, мы можем использовать метод интегрирования по частям и замену переменных.

Интегрирование по частям

Первым шагом мы можем применить метод интегрирования по частям ко второму слагаемому cos(2x). Для этого мы используем формулу интегрирования по частям: ∫ u * v dx = u * ∫ v dx - ∫ u' * (∫ v dx) dx,

где u и v - функции, а u' обозначает производную функции u по переменной x.

В данном случае, мы выбираем u = cos(2x) и dv = dx. Тогда du = -2sin(2x) dx и v = x.

Применяя формулу интегрирования по частям, получаем: ∫ cos(2x) dx = cos(2x) * x - ∫ (-2sin(2x)) * x dx.

Замена переменных

Для первого слагаемого 5sin(x/5), мы можем использовать замену переменных, чтобы упростить интеграл. Для этого мы выбираем новую переменную u = x/5, тогда du = (1/5) dx.

Подставляя u = x/5, получаем: ∫ 5sin(x/5) dx = 5∫ sin(u) * (5 du).

Интегрирование

Теперь мы можем интегрировать оба слагаемых отдельно.

Для первого слагаемого: ∫ 5sin(x/5) dx = 5∫ sin(u) * (5 du) = 25∫ sin(u) du = -25cos(u) + C1,

где C1 - произвольная постоянная интегрирования.

Для второго слагаемого: ∫ cos(2x) dx = cos(2x) * x - ∫ (-2sin(2x)) * x dx = cos(2x) * x + 2∫ sin(2x) dx.

Мы можем применить замену переменных для второго интеграла, выбрав новую переменную u = 2x, тогда du = 2dx. Подставляя u = 2x, получаем: 2∫ sin(2x) dx = 2∫ sin(u) * (du/2) = ∫ sin(u) du = -cos(u) + C2,

где C2 - произвольная постоянная интегрирования.

Таким образом, общая первообразная f(x) = 5sin(x/5) + cos(2x) имеет вид: f(x) = -25cos(x/5) + cos(2x) * x - 2cos(2x) + C,

где C = C1 + C2 - произвольная постоянная интегрирования.