Question

Найдите значение производной. sin^2x x0=pi\12 -x cos2x x0=0 1\2sin2x x0=pi\8

Answer 1

Y = sin²x.
u = sinx, v = u²
y' = u'·v' = (sinx)'·2u = 2sinx·cosx = sin2x
y'(x₀) = sin(2·π/12) = sin(π/6) = 1/2

y = -x·cos2x
y' = -(x)'cos2x + -x·(cos2x)' = -cos2x + 2x·sin2x
y'(x₀) = -cos0 + 0 = -1 

y = 1/2·sin2x
y' = 1/2·2cos2x = cos2x
y'(x₀) = cos(2·π/8) = cos(π/4) = √2/2 

Answer 2

Для решения данной задачи, нам необходимо найти значения производных для данных функций и приравнять их к нулю. Начнем с первого уравнения:

Уравнение 1: sin^2(x) + x^0 = π/12

Для нахождения производной функции sin^2(x), мы можем использовать правило дифференцирования для функции вида f(x)^n, где n - целое число. Правило заключается в умножении исходной функции на производную степени n:

f(x)^n = n * f(x)^(n-1) * f'(x)

Применяя это правило к функции sin^2(x), получаем:

d/dx (sin^2(x)) = 2 * sin(x) * sin'(x)

Теперь найдем производную для функции x^0:

d/dx (x^0) = 0

Поскольку x^0 является постоянной функцией и не зависит от x, ее производная равна нулю.

Теперь мы можем записать производную для первого уравнения:

2 * sin(x) * cos(x) + 0 = 0

Учитывая, что cos(x) = 0 при x = π/2, получаем:

2 * sin(π/2) * cos(π/2) = 0

Так как sin(π/2) = 1 и cos(π/2) = 0, уравнение принимает вид:

2 * 1 * 0 = 0

Очевидно, что это уравнение верно для всех x.

Теперь перейдем ко второму уравнению:

Уравнение 2: -x + cos(2x) + x^0 = 0

Мы уже знаем, что производная для x^0 равна нулю. Теперь найдем производную для функции cos(2x). Для этого мы можем использовать цепное правило дифференцирования:

d/dx (cos(u)) = -sin(u) * u'

где u - функция, а u' - ее производная.

Применив цепное правило к функции cos(2x), получаем:

d/dx (cos(2x)) = -sin(2x) * (2x)'

= -2 * sin(2x)

Теперь мы можем записать производную для второго уравнения:

-1 + (-2 * sin(2x)) + 0 = 0

-1 - 2 * sin(2x) = 0

2 * sin(2x) = -1

sin(2x) = -1/2

Для решения этого уравнения, мы можем использовать обратные тригонометрические функции. Так как sin(2x) = -1/2, мы можем записать:

2x = arcsin(-1/2)

2x = -π/6 + 2πn, где n - целое число

x = -π/12 + πn, где n - целое число

Таким образом, мы получаем бесконечное множество решений для второго уравнения.

Заключение

Значение производной для первого уравнения всегда равно нулю, поэтому уравнение верно для всех значений x. Второе уравнение имеет бесконечное множество решений, которые могут быть представлены в виде x = -π/12 + πn, где n - целое число.