Question

Log(5) (3х+1)<2 log(0,5) х/3 больше -3 (в скобочках это основание)

Answer 1

Решение
log₅ (3x  + 1) < 2
ОДЗ:  3x + 1 > 0, 3x > - 1, x > - 1/3
так как 5 > 1, то
3x + 1 < 5²
3x < 25 - 1
3x < 24
x < 8
С учётом ОДЗ: x∈ ( - 1/3 ; 8)
Ответ: x∈ (-1/3 ; 8)

2)   log₀,₅ (x/3) ≥ - 3
ОДЗ: x/3 > 0, x > 0
так как 0 < 0,5 < 1, то
x/3 ≤ (0,5)⁻³
x ≤ 3*8
x ≤ 24
 С учётом ОДЗ: x∈ ( 0 ; 24]
Ответ: x∈ (0 ;24]

Answer 2

Чтобы решить неравенство \( \log_5(3x + 1) < 2 + \log_{0.5}\left(\frac{x}{3}\right) - 3 \), давайте выполним несколько шагов.

1. Приведение логарифмов с одинаковым основанием: \[ \log_5(3x + 1) < 2 + \log_{0.5}\left(\frac{x}{3}\right) - 3 \] Поскольку \(\log_{0.5}\) можно представить как \(-\log_2\), заменим \(\log_{0.5}\) в выражении: \[ \log_5(3x + 1) < 2 - \log_2\left(\frac{x}{3}\right) - 3 \]

2. Преобразование логарифмов: \[ \log_5(3x + 1) < -1 - \log_2\left(\frac{x}{3}\right) \] Переведем логарифмы в экспоненциальную форму: \[ 5^{-1} \cdot (3x + 1) < 2^{-1} \cdot \frac{1}{3} \cdot x \] \[ \frac{1}{5} \cdot (3x + 1) < \frac{1}{6} \cdot x \]

3. Умножение на знаменатель: Умножим обе стороны неравенства на 30, чтобы избавиться от дробей: \[ 6 \cdot (3x + 1) < 5 \cdot x \] \[ 18x + 6 < 5x \] 4. Перенос всех членов в одну сторону: \[ 18x - 5x + 6 < 0 \] \[ 13x + 6 < 0 \]

5. Решение неравенства: Теперь решим полученное линейное неравенство: \[ 13x < -6 \] \[ x < -\frac{6}{13} \]

Таким образом, решением исходного неравенства \( \log_5(3x + 1) < 2 + \log_{0.5}\left(\frac{x}{3}\right) - 3 \) является \( x < -\frac{6}{13} \).