Question

Помогите, срочно! Неравенства с модулем |2х-4|<х+6 |3х-5|>х+7

Answer 1

I2x-4I<x+6
x∈(-∞;2)
-2x+4<x+6
3x>-2
x>-2/3  x∈(-2/3;2)
x∈(2;+∞)
2x-4<x+6
x<10  x∈(2;10)
x∈(-2/3;2)U(2;10).
I3x-5I>x+7
x∈(-∞;5/3)
-3x+5>x+7
4x<-2
x<-0,5  x∈(-∞;-0,5)
x∈(5/3;+∞)
3x-5>x+7
2x>12
x>6  x∈(6;+∞)
x∈(-∞;-0,5)U(6;+∞).

Answer 2

Давайте рассмотрим данные неравенства с модулями более подробно.

У вас есть два неравенства с модулями:

1. \( |2x - 4| < x + 6 \) 2. \( |3x - 5| > x + 7 \)

Для решения таких неравенств с модулями часто используются методы, основанные на разбиении неравенства на несколько случаев, учитывая возможные значения выражений под модулями.

Начнем с первого неравенства:

\( |2x - 4| < x + 6 \)

Чтобы упростить это, рассмотрим два варианта:

Неравенство 1:

Когда \(2x - 4\) положительно:

\(2x - 4 < x + 6\)

Решим это неравенство:

\(2x - 4 < x + 6\)

Переносим все x на одну сторону:

\(2x - x < 6 + 4\)

\(x < 10\)

Неравенство 2:

Когда \(2x - 4\) отрицательно:

\(-(2x - 4) < x + 6\)

Решим это неравенство:

\(-(2x - 4) < x + 6\)

Отрицательный модуль меняет знак неравенства:

\(-2x + 4 < x + 6\)

Решаем:

\(-2x - x < 6 - 4\)

\(-3x < 2\)

\(x > -\frac{2}{3}\)

Теперь перейдем ко второму неравенству:

\( |3x - 5| > x + 7 \)

Также разобьем на два случая, когда \(3x - 5\) положительно и отрицательно:

Неравенство 3:

Когда \(3x - 5\) положительно:

\(3x - 5 > x + 7\)

Решаем:

\(3x - 5 > x + 7\)

Переносим все x на одну сторону:

\(3x - x > 7 + 5\)

\(2x > 12\)

\(x > 6\)

Неравенство 4:

Когда \(3x - 5\) отрицательно:

\(-(3x - 5) > x + 7\)

Решаем:

\(-(3x - 5) > x + 7\)

Отрицательный модуль меняет знак неравенства:

\(-3x + 5 > x + 7\)

Решаем:

\(-3x - x > 7 - 5\)

\(-4x > 2\)

\(x < -\frac{1}{2}\)

Теперь, чтобы найти область значений x, которые удовлетворяют исходным неравенствам, нужно объединить решения всех неравенств.

Общее решение для \(x\) будет включать в себя пересечение областей, которые мы определили выше.

Результат для первого неравенства: \(-\frac{2}{3} < x < 10\)

Результат для второго неравенства: \(x < -\frac{1}{2}\) и \(x > 6\)

Теперь найдем пересечение областей, которые соответствуют обоим неравенствам:

Из всех полученных значений \(x\) удовлетворяют условиям обоих неравенств только значения \(x\) из диапазона \(6 < x < 10\).

Таким образом, решение обеих неравенств одновременно: \(6 < x < 10\).