Question

А) Найдите площадь фигуры, ограниченной графиком функции y=x^2-4x-4 и прямой y=-x . б) Составьте уравнение касательной к графику функции y=x^3-3x^2 в точке графика с абсциссой x0=-1

Answer 1

A
найдем пределы интегрирования
x²-4x-4=-x
x²-3x-4=0
x1+x2=3 U x1*x2=-4
x1=-1 U x2=4
Фигура ограничена сверху прямой,а снизу параболой
$S= \int\limits^4_{-1} {(-x^2+3x+4)} \, dx=-x^3/3+3x^2/2+4x|4-(-1)=$$-64/3+24+16-1/3-3/2+4=21,5$
б
y(-1)=-1-3=-4
y`=3x²-6x
y`(-1)=3+6=9
y=-4+9(x+1)=-4+9x+9=9x+5 уравнение касательной

Answer 2

Давайте решим поочередно оба пункта задачи.

а) Найдем площадь фигуры, ограниченной графиком функции \(y=x^2-4x-4\) и прямой \(y=-x\).

Для нахождения площади между кривой и прямой в определенном интервале, нужно взять интеграл от разности этих функций на этом интервале.

Графики функций \(y=x^2-4x-4\) и \(y=-x\) пересекаются в точках, которые можно найти, приравняв их:

\[x^2-4x-4 = -x\]

\[x^2-3x-4 = 0\]

Факторизуем уравнение:

\[(x-4)(x+1) = 0\]

Отсюда получаем два значения \(x\): \(x = 4\) и \(x = -1\). Эти точки - точки пересечения графиков. Они ограничивают интервал, в пределах которого мы будем вычислять площадь.

Теперь берем интеграл от разности функций в пределах от \(x = -1\) до \(x = 4\):

\[S = \int_{-1}^{4} ((x^2-4x-4) - (-x)) \,dx\]

Вычисляем этот интеграл:

\[S = \int_{-1}^{4} (x^2-3x-4) \,dx\]

\[S = \left[\frac{x^3}{3} - \frac{3x^2}{2} - 4x\right]_{-1}^{4}\]

\[S = \left(\frac{4^3}{3} - \frac{3(4)^2}{2} - 4(4)\right) - \left(\frac{(-1)^3}{3} - \frac{3(-1)^2}{2} - 4(-1)\right)\]

\[S = \frac{64}{3} - \frac{48}{2} - 16 + \frac{1}{3} - \frac{3}{2} + 4\]

\[S = \frac{64}{3} - 24 - 16 + \frac{1}{3} - \frac{3}{2} + 4\]

\[S = \frac{1}{3} - \frac{3}{2} - 36 + 4\]

\[S = -\frac{89}{6}\]

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной графиком функции \(y=x^2-4x-4\) и прямой \(y=-x\), равна \(-\frac{89}{6}\).

б) Составим уравнение касательной к графику функции \(y=x^3-3x^2\) в точке графика с абсциссой \(x_0 = -1\).

Чтобы найти уравнение касательной, нам нужно найти производную функции и подставить \(x_0\).

Исходная функция: \(y = x^3 - 3x^2\)

Находим производную:

\[y' = 3x^2 - 6x\]

Теперь подставим \(x_0 = -1\) в \(y'\), чтобы найти наклон (slope) касательной в точке \(x_0\):

\[m = y'(-1) = 3(-1)^2 - 6(-1) = 3 + 6 = 9\]

Таким образом, наклон касательной в точке \(x_0 = -1\) равен 9. Теперь нам нужно найти значение функции в этой точке:

\[y(-1) = (-1)^3 - 3(-1)^2 = -1 - 3 = -4\]

Теперь мы можем использовать формулу уравнения прямой, чтобы найти уравнение касательной:

\[y - y_0 = m(x - x_0)\]

Подставим значения:

\[y + 4 = 9(x + 1)\]

Раскроем скобки:

\[y + 4 = 9x + 9\]

Переносим все на одну сторону:

\[y = 9x + 5\]

Таким образом, уравнение касательной к графику функции \(y=x^3-3x^2\) в точке с абсциссой \(x_0 = -1\) равно \(y = 9x + 5\).