Question

Розв'язати нерівність √х-1 >√3-х

Answer 1

 V X - 1 > V 3 - X

X - 1 > 3 - X

2X > 4

X > 2

ответ: от 2 до плюс бесконечность (2 не входит)

 

 

 

 

 

 

Answer 2

Звідси виходить нерівність:

\(\sqrt{x} - 1 > \sqrt{3 - x}\)

Щоб розв'язати цю нерівність, спробуємо виділити \(x\):

Спочатку піднесемо обидві частини нерівності до квадрату, щоб позбутися від коренів:

\((\sqrt{x} - 1)^2 > (\sqrt{3 - x})^2\)

Розкладемо квадрати:

\((\sqrt{x})^2 - 2\cdot\sqrt{x}\cdot1 + 1 > (3 - x)\)

\(x - 2\cdot\sqrt{x} + 1 > 3 - x\)

Тепер перенесемо всі члени на одну сторону нерівності:

\(x + x - 2\cdot\sqrt{x} + 1 - 3 > 0\)

\(2x - 2\cdot\sqrt{x} - 2 > 0\)

Тепер поділимо всю нерівність на \(2\):

\(x - \sqrt{x} - 1 > 0\)

Тепер зробимо заміну: позначимо \(y = \sqrt{x}\). Тоді наша нерівність стане:

\(y^2 - y - 1 > 0\)

Тепер можемо розв'язати цю квадратну нерівність. Для цього спочатку знайдемо корені квадратного рівняння \(y^2 - y - 1 = 0\):

\(y = \frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1)}}{2 \cdot 1}\)

\(y = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}\)

Таким чином, отримуємо два корені: \(y = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}\) та \(y = \frac{1 - \sqrt{5}}{2}\).

Отже, ми отримали два інтервали: \(\left(\frac{1 - \sqrt{5}}{2}, \frac{1 + \sqrt{5}}{2}\right)\). Оскільки \(y = \sqrt{x}\), заміняємо \(y\) на \(\sqrt{x}\):

\(\frac{1 - \sqrt{5}}{2} < \sqrt{x} < \frac{1 + \sqrt{5}}{2}\)

Тепер підносячи обидві частини до квадрату, ми отримаємо:

\(\left(\frac{1 - \sqrt{5}}{2}\right)^2 < x < \left(\frac{1 + \sqrt{5}}{2}\right)^2\)

\( \frac{6 - 2\sqrt{5}}{4} < x < \frac{6 + 2\sqrt{5}}{4}\)

Отже, розв'язок нерівності \( \sqrt{x} - 1 > \sqrt{3 - x} \) у вигляді інтервалу для \(x\) буде \( \frac{6 - 2\sqrt{5}}{4} < x < \frac{6 + 2\sqrt{5}}{4} \).