Question

1) sinx+sin2x+sin3x+sin4x=02) cosx+cos2x+cos3x+cos4x=0

Answer 1

$> <img src=$



$cosx+cos2x+cos3x+cos4x=0 \\\\ 2cos \frac{x+4x}{2} cos \frac{x-4x}{2} +2cos \frac{2x+3x}{2} cos \frac{2x-3x}{2} =0 \\\\ cos \frac{5x}{2} cos \frac{3x}{2} +cos \frac{5x}{2} cos \frac{x}{2} =0 \\\\ cos \frac{5x}{2} (cos \frac{3x}{2} + cos \frac{x}{2}) =0 \\\\ cos \frac{5x}{2}=0 \\ \frac{5x}{2}= \frac{ \pi }{2} + \pi n \\ x= \frac{ \pi }{5} + \frac{2}{5} \pi n, n\in Z$

$cos \frac{3x}{2} + cos \frac{x}{2}=0$ решали в прошлом уравнении

Answer 2

Для решения уравнений sin(x) + sin(2x) + sin(3x) + sin(4x) = 0 и cos(x) + cos(2x) + cos(3x) + cos(4x) = 0, мы можем использовать различные методы. Один из способов - это использование тригонометрических тождеств и применение алгебраических методов для решения полученных уравнений.

Решение уравнения sin(x) + sin(2x) + sin(3x) + sin(4x) = 0:

Мы можем использовать тригонометрическое тождество для суммы синусов: sin(a) + sin(b) = 2 * sin((a + b) / 2) * cos((a - b) / 2)

Применяя это тождество для нашего уравнения, мы можем переписать его следующим образом: 2 * sin(x + 2x) * cos(x - 2x) + 2 * sin(3x + 4x) * cos(3x - 4x) = 0

Упрощая выражение, получаем: 2 * sin(3x) * cos(-x) + 2 * sin(7x) * cos(-x) = 0

Вынося общий множитель 2 * cos(-x) из обоих слагаемых, получаем: 2 * cos(-x) * (sin(3x) + sin(7x)) = 0

Так как cos(-x) равно cos(x), уравнение можно переписать как: 2 * cos(x) * (sin(3x) + sin(7x)) = 0

Теперь мы можем рассмотреть два случая:

Случай 1: cos(x) = 0

Если cos(x) = 0, то уравнение превращается в: 0 * (sin(3x) + sin(7x)) = 0

Это уравнение имеет тривиальное решение x = 0.

Случай 2: sin(3x) + sin(7x) = 0

Для решения этого уравнения мы можем использовать тригонометрическое тождество для суммы синусов: sin(a) + sin(b) = 2 * sin((a + b) / 2) * cos((a - b) / 2)

Применяя это тождество к нашему уравнению, мы получаем: 2 * sin((3x + 7x) / 2) * cos((3x - 7x) / 2) = 0

Упрощая выражение, получаем: 2 * sin(5x) * cos(-2x) = 0

Так как cos(-2x) равно cos(2x), уравнение можно переписать как: 2 * sin(5x) * cos(2x) = 0

Теперь мы можем рассмотреть два случая:

Случай 2.1: sin(5x) = 0

Если sin(5x) = 0, то уравнение превращается в: 0 * cos(2x) = 0

Это уравнение также имеет тривиальное решение x = 0.

Случай 2.2: cos(2x) = 0

Если cos(2x) = 0, то уравнение превращается в: 2 * sin(5x) * 0 = 0

Это также даёт тривиальное решение x = 0.

Таким образом, решениями уравнения sin(x) + sin(2x) + sin(3x) + sin(4x) = 0 являются x = 0 и x = 0.

Решение уравнения cos(x) + cos(2x) + cos(3x) + cos(4x) = 0:

Для решения этого уравнения мы также можем использовать тригонометрические тождества и алгебраические методы.

Мы можем использовать тригонометрическое тождество для суммы косинусов: cos(a) + cos(b) = 2 * cos((a + b) / 2) * cos((a - b) / 2)

Применяя это тождество к нашему уравнению, мы можем переписать его следующим образом: 2 * cos(x + 2x) * cos(x - 2x) + 2 * cos(3x + 4x) * cos(3x - 4x) = 0

Упрощая выражение, получаем: 2 * cos(3x) * cos(-x) + 2 * cos(7x) * cos(-x) = 0

Вынося общий множитель 2 * cos(-x) из обоих слагаемых, получаем: 2 * cos(-x) * (cos(3x) + cos(7x)) = 0

Так как cos(-x) равно cos(x), уравнение можно переписать как: 2 * cos(x) * (cos(3x) + cos(7x)) = 0

Теперь мы можем рассмотреть два случая:

Случай 1: cos(x) = 0

Если cos(x) = 0, то уравнение превращается в: 0 * (cos(3x) + cos(7x)) = 0

Это уравнение также имеет тривиальное решение x = 0.

Случай 2: cos(3x) + cos(7x) = 0

Для решения этого уравнения мы можем использовать тригонометрическое тождество для суммы косинусов: cos(a) + cos(b) = 2 * cos((a + b) / 2) * cos((a - b) / 2)

Применяя это тождество к нашему уравнению, мы получаем: 2 * cos((3x + 7x) / 2) * cos((3x - 7x) / 2) = 0

Упрощая выражение, получаем: 2 * cos(5x) * cos(-2x) = 0

Так как cos(-2x) равно cos(2x), уравнение можно переписать как: 2 * cos(5x) * cos(2x) = 0

Теперь мы можем рассмотреть два случая:

Случай 2.1: cos(5x) = 0

Если cos(5x) = 0, то уравнение превращается в: 0 * cos(2x) = 0

Это уравнение также имеет тривиальное решение x = 0.

Случай 2.2: cos(2x) = 0

Если cos(2x) = 0, то уравнение превращается в: 2 * cos(5x) * 0 = 0

Это также даёт тривиальное решение x = 0.

Таким образом, решениями уравнения cos(x) + cos(2x) + cos(3x) + cos(4x) = 0 являются x = 0 и x = 0.

Обратите внимание, что в обоих уравнениях тривиальное решение x = 0 появляется несколько раз, так как sin(0) = 0 и cos(0) = 1. Это означает, что нулевое значение является решением для всех переменных x в каждом из уравнений.