Question

Решите уравнение sin2x-sinx=2cosx-1

Answer 1

Sin2x - sinx = 2cosx - 1 
2sinx cosx - sinx = 2cosx - 1 
sinx(2cosx - 1)= 2cosx - 1 
sinx=1 
х=пи/2 + Пиэн

Answer 2

Давайте решим уравнение sin(2x) - sin(x) = 2cos(x) - 1. Чтобы начать, давайте перепишем уравнение, используя тригонометрические тождества.

Тригонометрическое тождество: sin(2x) = 2sin(x)cos(x) Используя это тождество, мы можем переписать уравнение:

2sin(x)cos(x) - sin(x) = 2cos(x) - 1

Теперь давайте приведем подобные слагаемые и перенесем все на одну сторону уравнения:

2sin(x)cos(x) - sin(x) - 2cos(x) + 1 = 0

Мы видим, что это квадратное уравнение относительно sin(x). Давайте представим его в виде:

(2cos(x) - 1)sin(x) - (2cos(x) - 1) = 0

Теперь мы можем сделать факторизацию:

(2cos(x) - 1)(sin(x) - 1) = 0

Теперь мы можем рассмотреть два случая:

1) 2cos(x) - 1 = 0 В этом случае получаем: cos(x) = 1/2 x = π/3 + 2πk, где k - целое число.

2) sin(x) - 1 = 0 В этом случае получаем: sin(x) = 1 x = π/2 + 2πk, где k - целое число.

Таким образом, уравнение sin(2x) - sin(x) = 2cos(x) - 1 имеет два набора решений: x = π/3 + 2πk, где k - целое число, и x = π/2 + 2πk, где k - целое число.

Давайте проверим эти решения, подставив их в исходное уравнение:

Для первого набора решений (x = π/3 + 2πk): sin(2(π/3 + 2πk)) - sin(π/3 + 2πk) = 2cos(π/3 + 2πk) - 1 sin(2π/3 + 4πk) - sin(π/3 + 2πk) = 2cos(π/3 + 2πk) - 1 sin(2π/3)cos(4πk) + cos(2π/3)sin(4πk) - sin(π/3)cos(2πk) - cos(π/3)sin(2πk) = 2cos(π/3)cos(2πk) - 2sin(π/3)sin(2πk) - 1 (√3/2)(1) + (1/2)(0) - (1/2)(-1) - (√3/2)(0) = (1/2)(1) - (√3/2)(0) - 1 (√3/2) + (1/2) + (1/2) = (1/2) - 1 √3 + 1 = -1/2 - 1 √3 + 1 = -3/2 Но это неверно, поэтому первый набор решений не подходит.

Для второго набора решений (x = π/2 + 2πk): sin(2(π/2 + 2πk)) - sin(π/2 + 2πk) = 2cos(π/2 + 2πk) - 1 sin(π + 4πk) - sin(π/2 + 2πk) = 2cos(π/2 + 2πk) - 1 sin(π)cos(4πk) + cos(π)sin(4πk) - sin(π/2)cos(2πk) - cos(π/2)sin(2πk) = 2cos(π/2)cos(2πk) - 2sin(π/2)sin(2πk) - 1 (0)(1) + (-1)(0) - (1)(-1) - (0)(0) = (0)(1) - (1)(0) - 1 0 + 0 + 1 + 0 = 0 - 0 - 1 1 = -1 Но это также неверно, поэтому второй набор решений также не подходит.

Таким образом, уравнение sin(2x) - sin(x) = 2cos(x) - 1 не имеет решений.