Question

6sin^2x+2sin^2 2x=5 Найти сумму корней уравнения принадлежащих промежутку [0;360] градусов. Расписывайте каждое действие,даю 40 баллов!

Answer 1

6*(1-cos2x)/2+2(1-cos4x)/2=5
3-3cos2x+1-cos4x=5
-3cos2x-cos4x=1
-3cos2x-2cos²2x+1=1
-3cos2x-2cos²2x=0
-cos2x(3+2cos2x)=0
cos2x=0⇒2x=π/2+πk⇒x=π/4+πk/2
3+2cos2x=0⇒2cos2x=-3⇒cos2x=-1,5<1 нет решения
0≤45+90k≤360
-45≤90k≤315
-45/90≤k≤315/90
k=0   x=45
k=1  x=45+90=135
k=2  x=45+180=225
k=3   x=45+270=315
45+135+225+315=720

Answer 2

Давайте решим уравнение пошагово.

Уравнение, которое нужно решить, выглядит следующим образом:

\[6\sin^2x + 2\sin^2(2x) = 5\]

Заметим, что \(2\sin^2(2x) = 4\sin^2x\cos^2x\), поэтому уравнение примет вид:

\[6\sin^2x + 4\sin^2x\cos^2x = 5\]

Теперь объединим члены синусов:

\[10\sin^2x\cos^2x + 6\sin^2x - 5 = 0\]

Подставим \(u = \sin^2x\), тогда уравнение примет вид квадратного уравнения относительно \(u\):

\[10u^2 + 6u - 5 = 0\]

Теперь решим это квадратное уравнение. Воспользуемся формулой для корней квадратного уравнения:

\[u = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\]

Где \(a = 10\), \(b = 6\), и \(c = -5\). Подставим значения:

\[u = \frac{-6 \pm \sqrt{6^2 - 4(10)(-5)}}{2(10)}\]

\[u = \frac{-6 \pm \sqrt{36 + 200}}{20}\]

\[u = \frac{-6 \pm \sqrt{236}}{20}\]

\[u = \frac{-6 \pm 2\sqrt{59}}{20}\]

\[u = \frac{-3 \pm \sqrt{59}}{10}\]

Теперь у нас есть два значения \(u\). Напомним, что \(u = \sin^2x\). Так как \(\sin^2x\) не может быть отрицательным, мы можем рассматривать только положительные значения. Таким образом, у нас есть два случая:

1. \(u = \frac{-3 + \sqrt{59}}{10}\) 2. \(u = \frac{-3 - \sqrt{59}}{10}\)

Теперь, найдем значения \(x\) для каждого из этих случаев, используя свойства синуса.

1. Для \(u = \frac{-3 + \sqrt{59}}{10}\), возьмем арксинус от обеих сторон:

\[ \sin^2x = \frac{-3 + \sqrt{59}}{10} \]

\[ \sin x = \pm \sqrt{\frac{-3 + \sqrt{59}}{10}} \]

2. Для \(u = \frac{-3 - \sqrt{59}}{10}\), аналогично:

\[ \sin^2x = \frac{-3 - \sqrt{59}}{10} \]

\[ \sin x = \pm \sqrt{\frac{-3 - \sqrt{59}}{10}} \]

Теперь, найдем значения углов \(x\) в интервале \([0, 360]\). Обратите внимание, что если \(\sin x = a\), то \(x = \arcsin a + 2\pi n\) или \(x = \pi - \arcsin a + 2\pi n\), где \(n\) - целое число.

Подставим значения \(\sin x\) для каждого из двух случаев и найдем соответствующие углы \(x\). Помним, что нужно учесть, что углы должны быть в пределах \([0, 360]\) градусов.

\[ x_1 = \arcsin\left(\sqrt{\frac{-3 + \sqrt{59}}{10}}\right) + 2\pi n \]

\[ x_2 = \pi - \arcsin\left(\sqrt{\frac{-3 + \sqrt{59}}{10}}\right) + 2\pi n \]

\[ x_3 = \arcsin\left(\sqrt{\frac{-3 - \sqrt{59}}{10}}\right) + 2\pi n \]

\[ x_4 = \pi - \arcsin\left(\sqrt{\frac{-3 - \sqrt{59}}{10}}\right) + 2\pi n \]

Теперь нужно проверить каждый из углов и исключить те, которые не принадлежат интервалу \([0, 360]\). Заметим, что углы \(x_2\) и \(x_4\) симметричны относительно \(\pi\), поэтому для одного из них достаточно проверить принадлежность к интервалу.

Таким образом, найденные значения углов \(x\) в интервале \([0, 360]\) градусов:

\[ x_1, x_2, x_3, x_4 \]

Обязательно проверьте вычисления с помощью калькулятора, чтобы избежать ошибок в процессе.