Question

Сумма квадратов двух последовательных натуральных чисел больше их произведения на 307. Найдите эти числа (по формуле корни квадратных уравнений)!

Answer 1

Пусть х и (х+1) - два последовательных натуральных числа, тогда по условию задачи составляем уравнение:

х2+(х+1)2 - х(х+1)=307

х2+х2+2х+1-х2-х=307

х2+х-306=0

Д= 1+4*306=1225,    2 корня

х(1)=(-1+35) / 2 =17

х(2)=(-1-35) / 2 = -18 не подходит под условие задачи ( нужны только натуральные числа)

 

17+1=18

Ответ: данные числа 17;18

Answer 2

Давайте обозначим два последовательных натуральных числа как \(n\) и \(n+1\), где \(n\) - первое число. Тогда у нас есть условие:

\[n^2 + (n+1)^2 > n(n+1) + 307\]

Раскроем скобки и упростим выражение:

\[n^2 + (n^2 + 2n + 1) > n^2 + n + 307\]

\[2n^2 + 2n + 1 > n^2 + n + 307\]

Теперь приведем подобные члены и приведем уравнение к квадратному виду:

\[2n^2 + n - 306 > 0\]

Теперь у нас есть квадратное уравнение вида \(ax^2 + bx + c > 0\), где \(a = 2\), \(b = 1\), и \(c = -306\).

Для нахождения корней этого уравнения используем формулу квадратного корня:

\[n = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\]

Подставим значения:

\[n = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 4 \cdot 2 \cdot 306}}{4}\]

\[n = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 2448}}{4}\]

\[n = \frac{-1 \pm \sqrt{2449}}{4}\]

\[n = \frac{-1 \pm 49}{4}\]

Теперь у нас есть два возможных значения для \(n\):

1. \(n = \frac{-1 + 49}{4} = \frac{48}{4} = 12\) 2. \(n = \frac{-1 - 49}{4} = \frac{-50}{4} = -12.5\)

Так как мы рассматриваем натуральные числа, то отбросим второй вариант (\(n = -12.5\)).

Итак, первое число \(n = 12\), и второе число \(n+1 = 13\).

Таким образом, два последовательных натуральных числа, сумма квадратов которых больше их произведения на 307, это 12 и 13.