Question

вычислить площадь фигуры ограниченной линиями f (x) =x2 , x=1 , x=2 , y=0

Answer 1

См график
+ решение
=================================

Answer 2

Конечно, площадь фигуры, ограниченной линиями \( f(x) = x^2 \), \( x = 1 \), \( x = 2 \) и \( y = 0 \), можно найти методом интегрирования.

Сначала посмотрим, как эти функции выглядят на графике:

- \( f(x) = x^2 \) - это парабола, открытая вверх, проходящая через начало координат. - \( x = 1 \) - это вертикальная линия, проходящая через \( x = 1 \). - \( x = 2 \) - это еще одна вертикальная линия, проходящая через \( x = 2 \). - \( y = 0 \) - это горизонтальная линия, соответствующая оси x.

Интересующая нас область - это область, заключенная между кривой \( f(x) = x^2 \) и отрезками \( x = 1 \) и \( x = 2 \), а также осью x.

Для вычисления площади этой фигуры используем определенный интеграл. Поскольку у нас есть два вертикальных отрезка и функция \( f(x) \), площадь будет равна разности интегралов функций по оси x на интервале между \( x = 1 \) и \( x = 2 \).

Интеграл для нахождения площади ограниченной фигуры будет следующим:

\[ \text{Площадь} = \int_{1}^{2} f(x) \,dx - \text{площадь под отрезками} \]

Первая часть (интеграл) будет представлять площадь под графиком \( f(x) = x^2 \) на отрезке от \( x = 1 \) до \( x = 2 \), а вторая часть - площадь двух треугольников, ограниченных осью x и отрезками \( x = 1 \) и \( x = 2 \).

Вычислим интеграл функции \( f(x) = x^2 \) от \( x = 1 \) до \( x = 2 \):

\[ \int_{1}^{2} x^2 \,dx = \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{1}^{2} = \frac{2^3}{3} - \frac{1^3}{3} = \frac{8}{3} - \frac{1}{3} = \frac{7}{3} \]

Теперь найдем площадь под отрезками \( x = 1 \) и \( x = 2 \). Это прямоугольные треугольники с высотой 1 (так как они идут от \( y = 0 \) до \( y = 1 \)) и основанием 1 (ширина каждого треугольника):

\[ \text{Площадь треугольника} = \frac{1}{2} \times \text{основание} \times \text{высота} = \frac{1}{2} \times 1 \times 1 = \frac{1}{2} \]

Так как у нас два таких треугольника, их общая площадь равна \( 2 \times \frac{1}{2} = 1 \).

Теперь вычтем площадь треугольников из интеграла:

\[ \text{Площадь} = \frac{7}{3} - 1 = \frac{7}{3} - \frac{3}{3} = \frac{4}{3} \]

Итак, площадь фигуры, ограниченной функцией \( f(x) = x^2 \), \( x = 1 \), \( x = 2 \) и \( y = 0 \), равна \( \frac{4}{3} \) квадратных единиц.