Question

Помогите решить задачу по интеграллам, пож.) (x+1) dx / (2x+1)^1/3

Answer 1

∫(х+1)dx/(2x+1)^1/3
2x+1=z   2x=z-1   x=z/2-1/2   x+1=z/2+1/2  2dx=dz   dx=dz/2
∫(z/2)*0.5dz/z^1/3+1/2∫0.5dz/z^1/3=
=1/4∫z^2/3 dz +1/4∫z^(-1/3)dz=3/20*z^(5/3)+3/8z^(2/3)+C=
=3/20*(2x+1)^(5/3)+3/8*(2x+1)^(2/3)+C

Answer 2

Конечно, я могу помочь вам решить эту задачу! Давайте найдем интеграл от функции `(x+1)/(2x+1)^(1/3)`.

Для начала, давайте произведем замену переменной. Обозначим `u = 2x + 1`. Тогда `du/dx = 2` и, следовательно, `dx = du/2`. Также, когда `x = 0`, `u = 1`, и когда `x = ∞`, `u = ∞`.

Теперь давайте перепишем наш интеграл с использованием новой переменной `u`:

∫((x+1)/(2x+1)^(1/3)) dx
= ∫(((u-1)/2)/(u)^(1/3)) (du/2)
= 1/4 ∫(u^(2/3) - u^(-1/3)) du
= 1/4 (3u^(5/3)/5 - 3u^(2/3))

Теперь давайте вернемся к переменной `x`:

= 1/4 (3(2x+1)^(5/3)/5 - 3(2x+1)^(2/3))

И это будет нашим окончательным ответом.

Ответ: ``` (3(2x+1)^(5/3)/20 - 3(2x+1)^(2/3)/4) + C ```

где `C` - произвольная постоянная.