Question

Докажите что значение выражения есть число натуральное: корень а под этим корнем 2 корней из пяти минус 2, умножить на корень в котором, два плюс два корня из 5

Answer 1

$\sqrt{2\sqrt5-2}*\sqrt{2\sqrt5+2}=\sqrt{(2\sqrt5-2)*(2\sqrt5+2)}=\sqrt{(2\sqrt5)^2-2^2}=\sqrt{4*5-4}=\sqrt16=4$

Answer 2

Для начала давайте разберемся с выражением по частям.

Выражение можно записать следующим образом: √a * (2√5 - 2) * (2 + 2√5)

Для того чтобы доказать, что значение выражения является натуральным числом, нам необходимо доказать, что каждый из множителей также является натуральным числом.

1) Множитель √a является корнем из некоторого числа a. Пусть a = b^2, где b - натуральное число. Тогда √a = b, что является натуральным числом.

2) Множитель (2√5 - 2) также является натуральным числом, так как это разность двух корней из пяти. Корень из пяти является иррациональным числом, но разность иррациональных чисел может быть как рациональным, так и иррациональным числом. В данном случае, разность двух корней из пяти будет рациональным числом, так как в обоих корнях есть множитель 2.

3) Множитель (2 + 2√5) также является натуральным числом. Здесь мы имеем сумму рационального числа 2 и иррационального числа 2√5. Сумма рационального и иррационального числа всегда будет иррациональным числом. Однако, в данном случае, сумма 2 + 2√5 будет рациональным числом, так как в обоих членах суммы есть множитель 2.

Таким образом, каждый из множителей является натуральным числом, а значит, и значение всего выражения будет натуральным числом.