Question

Помогите с решением уравнений: 1. (0,1)^2х-1 = 10 2. 9^х-7*3^х-18=0

Answer 1

1)0,1^(2x-1)=0,1^-1
2x-1=-1
x=0
2)9^(x-7*3^x-18=0
3^2x-7*3^x-18=0
3^x=t
t^2-7t-18=0
t1=7+11/2=9
t2=7-11/2=-2
3^(x)=9
3^x=3^2
x=2

Answer 2

Давайте решим каждое уравнение по отдельности.

1. Уравнение (0,1)^2х - 1 = 10: Для начала, давайте разберемся с записью (0,1)^2. Думаю, вы имели в виду 0.1 в степени 2. Таким образом, уравнение примет вид: 0.1^2х - 1 = 10

Чтобы решить это уравнение, добавим 1 к обеим сторонам: 0.1^2х = 11

Затем возведем 0.1 в квадрат: (0.1)^2х = 11

В результате получаем: 0.01х = 11

Чтобы избавиться от деления на 0.01, умножим обе стороны на 100: 100 * 0.01х = 100 * 11

Это дает нам: х = 1100

Таким образом, решение уравнения (0,1)^2х - 1 = 10 равно х = 1100.

2. Уравнение 9^х - 7 * 3^х - 18 = 0: Это уравнение содержит два слагаемых с базами 9 и 3, возведенными в степени х. Чтобы решить его, давайте проведем некоторые преобразования.

Мы можем заметить, что 9^х и 3^х можно записать в виде (3^2)^х и 3^х соответственно: (3^2)^х - 7 * 3^х - 18 = 0

Теперь давайте введем новую переменную, скажем,Для начала решим уравнение \( (0.1)^{2x-1} = 10 \).

Логарифмирование обеих сторон уравнения

Для решения данного уравнения мы можем прологарифмировать обе стороны уравнения с основанием 10, чтобы избавиться от показателя степени и решить уравнение:

\[ \log_{10}((0.1)^{2x-1}) = \log_{10}(10) \]

Свойство логарифма

Здесь мы воспользуемся свойством логарифма: \(\log_{a}(b^c) = c \cdot \log_{a}(b)\):

\[ (2x-1) \cdot \log_{10}(0.1) = 1 \]

Выразим x

Теперь мы можем выразить x:

\[ 2x - 1 = \frac{1}{\log_{10}(0.1)} \]

\[ 2x = \frac{1}{\log_{10}(0.1)} + 1 \]

\[ x = \frac{\frac{1}{\log_{10}(0.1)} + 1}{2} \]

Теперь рассмотрим уравнение \(9^x - 7 \cdot 3^x - 18 = 0\).

Замена переменной

Для упрощения уравнения воспользуемся заменой переменной: \(y = 3^x\).

Преобразование уравнения

Подставим \(y\) в уравнение:

\[9^x - 7 \cdot 3^x - 18 = 0\]

\[(3^2)^x - 7 \cdot 3^x - 18 = 0\]

\[y^2 - 7y - 18 = 0\]

Теперь это квадратное уравнение относительно \(y\).

Решение квадратного уравнения

Решим квадратное уравнение \(y^2 - 7y - 18 = 0\) с помощью дискриминанта:

\[D = (-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-18) = 49 + 72 = 121\]

Так как дискриминант положительный, уравнение имеет два действительных корня.

Нахождение корней

Используем квадратное уравнение для нахождения корней:

\[y_{1,2} = \frac{-(-7) \pm \sqrt{121}}{2 \cdot 1}\]

\[y_1 = \frac{7 + 11}{2} = 9\]

\[y_2 = \frac{7 - 11}{2} = -2\]

Подстановка обратно

Теперь мы можем вернуться к исходной переменной \(x\):

\[3^x = 9 \quad \text{или} \quad 3^x = -2\]

Для \(3^x = -2\) нет действительного решения, так как степень должна быть положительной, поэтому рассмотрим только \(3^x = 9\).

Нахождение x

Теперь мы можем решить \(3^x = 9\):

\[x = \log_{3}(9) = 2\]

Таким образом, мы нашли значение \(x = 2\) для данного уравнения.

Итак, мы нашли, что \(x = \frac{\frac{1}{\log_{10}(0.1)} + 1}{2}\) и \(x = 2\) решения для данных уравнений.