Question

решите уравнение cos2x+sin^2x=0.5 найдите все решение на промежутке [-(7п)/2;-2п]

Answer 1

cos2x+sin²x=0.5

cos²х - sin²x + sin²x = 0,5

cos²х= 0,5

cosх₁ = - 1/√2

х₁₁ = 3π/4 + 2πn

x₁₂ = - 3π/4 + 2πn

cosх₂ = 1/√2

x₂₁ = π/4 + 2πn

x₂₂ = -π/4 + 2πn

Найдём корни решения х₁₁ = 3π/4 + 2πn  в промежутке [-3,5π; -2π]

n = -2         х₁₁ = 3π/4 - 4π = -3,25π   х∈ [-3,5π; -2π]

n = -3         х₁₁ = 3π/4 - 6π = -5,25π   х∉ [-3,5π; -2π]

 

Найдём корни решения x₁₂ = - 3π/4 + 2πn  в промежутке [-3,5π; -2π]

n = -1         х₁₂ = -3π/4 - 2π = -2,75π   х∈ [-3,5π; -2π]

n = -2         х₁₂ = -3π/4 - 4π = -4,75π   х∉ [-3,5π; -2π]

 

Найдём корни решения x₂₁ = π/4 + 2πn в промежутке [-3,5π; -2π]

n = -1         х₂₁ = π/4 - 2π = -1,75π   х∉ [-3,5π; -2π]

n = -2         х₂₁ = π/4 - 4π = -3,75π   х∉ [-3,5π; -2π]

 

Найдём корни решения x₂₂ = -π/4 + 2πn в промежутке [-3,5π; -2π]

n = -1         х₂₂ = -π/4 - 2π = -2,25π   х∈ [-3,5π; -2π]

n = -2         х₂₂ = -π/4 - 4π = -4,25π   х∉ [-3,5π; -2π]

В промежутке х∈ [-3,5π; -2π] уравнение имеет корни:

х₁₁ = -3,25π,  х₁₂ = -2,75π, х₂₂ =-2,25π

 

Answer 2

Для решения уравнения cos(2x) + sin^2(x) = 0.5 на промежутке [-7π/2, -2π], мы можем использовать несколько шагов и тригонометрических тождеств.

Шаг 1: Преобразование уравнения

Используем тригонометрическое тождество cos^2(x) + sin^2(x) = 1, чтобы заменить sin^2(x) в исходном уравнении:

cos(2x) + 1 - cos^2(x) = 0.5

Шаг 2: Приведение уравнения к квадратному виду

Перепишем уравнение, используя формулу двойного угла для cos(2x):

2cos^2(x) - 1 + 1 - cos^2(x) = 0.5

2cos^2(x) - cos^2(x) = 0.5

cos^2(x) = 0.5

Шаг 3: Решение квадратного уравнения

Возьмем квадратный корень от обеих сторон уравнения:

cos(x) = ±√(0.5)

cos(x) = ±0.707

Шаг 4: Нахождение значений угла

Чтобы найти значения угла x, мы должны рассмотреть промежуток [-7π/2, -2π]. В этом промежутке, cos(x) имеет значения от -1 до 0.

Таким образом, мы можем записать два уравнения:

cos(x) = 0.707 cos(x) = -0.707

Шаг 5: Нахождение решений

Для первого уравнения, cos(x) = 0.707:

x = arccos(0.707) ≈ 0.785

Для второго уравнения, cos(x) = -0.707:

x = arccos(-0.707) ≈ 2.356

Шаг 6: Проверка решений

Проверим найденные значения, подставив их обратно в исходное уравнение:

cos(2*0.785) + sin^2(0.785) ≈ 0.5 cos(1.571) + 0.5 ≈ 0.5 0 + 0.5 ≈ 0.5

cos(2*2.356) + sin^2(2.356) ≈ 0.5 cos(4.712) + 0.5 ≈ 0.5 0 + 0.5 ≈ 0.5

Оба значения удовлетворяют исходному уравнению.

Шаг 7: Общий ответ

Решения уравнения cos(2x) + sin^2(x) = 0.5 на промежутке [-7π/2, -2π] равны:

x ≈ 0.785 и x ≈ 2.356