Question

Вычислите производную: е^(1/√x)

Answer 1

$(e^{^\frac{1}{\sqrt{x}}})'=(e^{x^{-\frac{1}{2}}})'=-\frac{1}{2}x^{-\frac{3}{2}}*e^{^\frac{1}{\sqrt{x}}}=-\frac{e^{^\frac{1}{\sqrt{x}}}}{2x\sqrt{x}}$
График функции и производной на изображении.

Answer 2

Для вычисления производной функции, данной в виде e^(1/√x), мы можем использовать правило дифференцирования сложной функции. Давайте разберемся в подробностях.

Правило дифференцирования сложной функции

Правило дифференцирования сложной функции, известное как правило цепной дифференциации, гласит, что если у нас есть функция f(g(x)), то ее производная может быть выражена следующим образом:

(f(g(x)))' = f'(g(x)) * g'(x)

где f'(g(x)) обозначает производную функции f от аргумента g(x), а g'(x) обозначает производную функции g от x.

Вычисление производной e^(1/√x)

В заданной функции у нас есть f(x) = e^(1/√x), где f(x) является внешней функцией, а g(x) = 1/√x является внутренней функцией.

Для вычисления производной e^(1/√x) мы должны вычислить производные f'(g(x)) и g'(x) и затем применить правило цепной дифференциации.

Вычисление производной внешней функции f'(g(x))

Производная функции e^x равна самой функции e^x. Таким образом, производная внешней функции f'(g(x)) равна e^(g(x)). В нашем случае g(x) = 1/√x, поэтому:

f'(g(x)) = e^(1/√x)

Вычисление производной внутренней функции g'(x)

Для вычисления производной внутренней функции g'(x), мы должны использовать правило дифференцирования для функции 1/√x.

Правило дифференцирования для функции 1/√x гласит:

(d/dx)(1/√x) = -1/(2x^(3/2))

Таким образом, производная внутренней функции g'(x) равна:

g'(x) = -1/(2x^(3/2))

Применение правила цепной дифференциации

Теперь, когда мы вычислили f'(g(x)) и g'(x), мы можем применить правило цепной дифференциации:

(f(g(x)))' = f'(g(x)) * g'(x)

В нашем случае, f(g(x)) = e^(1/√x), f'(g(x)) = e^(1/√x) и g'(x) = -1/(2x^(3/2)). Подставляя значения, получаем:

(e^(1/√x))' = e^(1/√x) * (-1/(2x^(3/2)))

Таким образом, производная функции e^(1/√x) равна e^(1/√x) * (-1/(2x^(3/2))).

Надеюсь, это подробное объяснение помогло вам понять, как вычислить производную функции e^(1/√x). Если у вас есть еще вопросы, не стесняйтесь задавать!