Question

Найдите пожалуйста сходимость степенного ряда ∑=(5^n)*(x^n)

Answer 1

Решение в приложении.

Answer 2

Для определения сходимости данного степенного ряда ∑(5^n)*(x^n), где n принадлежит натуральным числам, необходимо применить признак сходимости Даламбера.

Признак Даламбера утверждает, что если существует такое число D, что |(5^(n+1))*(x^(n+1))| / |(5^n)*(x^n)| < D для всех достаточно больших n, то ряд сходится при |x| < 1/D, и расходится при |x| > 1/D.

Рассмотрим отношение последовательных членов ряда: |(5^(n+1))*(x^(n+1))| / |(5^n)*(x^n)| = (5^(n+1))*(x^(n+1)) / (5^n)*(x^n) = |5*x|

Таким образом, признак Даламбера сводится к анализу значения |5*x|. Если |5*x| < 1, то ряд сходится; если |5*x| > 1, то ряд расходится; если |5*x| = 1, то признак Даламбера не даёт определённого ответа и требуется дополнительное исследование.

Итак, если |5*x| < 1, то ряд сходится. Если |5*x| > 1, то ряд расходится. Если |5*x| = 1, то требуется дополнительное исследование.

В данном случае, ряд ∑(5^n)*(x^n) будет сходиться при |5*x| < 1, то есть при |x| < 1/5. Таким образом, ряд сходится при значениях x в интервале (-1/5, 1/5).

Окончательно, степенной ряд ∑(5^n)*(x^n) сходится при |x| < 1/5 и расходится при |x| > 1/5.