Question

Sin3x-cos3x=sqrt(3/2)

Answer 1

Sin3x-cos3x = $\sqrt{\frac{3}{2} }$
$cos( \frac{ \pi }{2} - 3x)$ - cos3x = $\sqrt{\frac{3}{2} }$
Дальше используем эту формулу:
$cos \alpha - cos \beta = -2 sin \frac{a+ \beta }{2} sin \frac{ \alpha -b}{2}$

Answer 2

Для решения уравнения sin(3x) - cos(3x) = √(3/2), мы можем использовать тригонометрические идентичности и алгебраические преобразования.

Первый шаг: Приведение уравнения к более простому виду

Давайте начнем с применения формулы двойного угла для функций синуса и косинуса: sin(2θ) = 2sin(θ)cos(θ) cos(2θ) = cos^2(θ) - sin^2(θ)

Применим формулу для sin(3x): sin(3x) = sin(2x + x) = sin(2x)cos(x) + cos(2x)sin(x) = (2sin(x)cos(x))cos(x) + (cos^2(x) - sin^2(x))sin(x) = 2sin(x)cos^2(x) + cos^2(x)sin(x) - sin^3(x)

А теперь применим формулу для cos(3x): cos(3x) = cos(2x + x) = cos(2x)cos(x) - sin(2x)sin(x) = (cos^2(x) - sin^2(x))cos(x) - (2sin(x)cos(x))sin(x) = cos^2(x)cos(x) - sin^2(x)cos(x) - 2sin(x)cos^2(x)

Подставим эти результаты в исходное уравнение: 2sin(x)cos^2(x) + cos^2(x)sin(x) - sin^3(x) - cos^2(x)cos(x) + sin^2(x)cos(x) + 2sin(x)cos^2(x) = √(3/2)

Упростим это уравнение: 2sin(x)cos^2(x) + cos^2(x)sin(x) - sin^3(x) - cos^2(x)cos(x) + sin^2(x)cos(x) + 2sin(x)cos^2(x) - √(3/2) = 0

Второй шаг: Алгебраические преобразования

Теперь мы можем преобразовать уравнение, чтобы выразить его в более удобной форме. Давайте объединим подобные слагаемые: 2sin(x)cos^2(x) + cos^2(x)sin(x) + sin^2(x)cos(x) + 2sin(x)cos^2(x) - sin^3(x) - cos^2(x)cos(x) - √(3/2) = 0

Объединим слагаемые: 4sin(x)cos^2(x) + 2sin(x)cos^2(x) + cos^2(x)sin(x) + sin^2(x)cos(x) - sin^3(x) - cos^2(x)cos(x) - √(3/2) = 0

Сгруппируем слагаемые: (4sin(x)cos^2(x) + 2sin(x)cos^2(x)) + (cos^2(x)sin(x) + sin^2(x)cos(x) - sin^3(x) - cos^2(x)cos(x)) - √(3/2) = 0

Сократим коэффициенты: 6sin(x)cos^2(x) + (cos^2(x)sin(x) + sin^2(x)cos(x) - sin^3(x) - cos^2(x)cos(x)) - √(3/2) = 0

Третий шаг: Факторизация и решение уравнения

Теперь давайте факторизуем исходное уравнение. Обратите внимание, что у нас есть несколько слагаемых, которые можно объединить: 6sin(x)cos^2(x) + (cos^2(x)sin(x) + sin^2(x)cos(x) - sin^3(x) - cos^2(x)cos(x)) - √(3/2) = 0

Факторизуем: cos(x)[6sin(x)cos(x) + (cos(x)sin(x) - sin^2(x) - cos^2(x))] - √(3/2) = 0

Упростим еще дальше: cos(x)[6sin(x)cos(x) + (cos(x)sin(x) - 1)] - √(3/2) = 0

Теперь у нас есть произведение двух множителей, равное нулю. Это означает, что одно из множителей должно быть равно нулю:

cos(x) = 0 или 6sin(x)cos(x) + (cos(x)sin(x) - 1) = √(3/2)

Решим каждое уравнение по отдельности:

Решение первого уравнения: cos(x) = 0

cos(x) = 0

Это уравнение имеет два решения: x = π/2 + kπ и x = 3π/2 + kπ, где k - целое число.

Решение второго уравнения: 6sin(x)cos(x) + (cos(x)sin(x) - 1) = √(3/2)

6sin(x)cos(x) + (cos(x)sin(x) - 1) = √(3/2)

Мы можем преобразовать это уравнение, чтобы выразить его в терминах одной тригонометрической функции. Для этого воспользуемся формулой sin(2θ) = 2sin(θ)cos(θ):

3sin(2x) + sin(2x) - 1 = √(3/2)

Объединим подобные слагаемые: 4sin(2x) - 1 = √(3/2)

Теперь выразим sin(2x): 4sin(2x) = √(3/2) + 1 sin(2x) = (√(3/2) + 1) / 4

Теперь найдем значение 2x: 2x = arcsin((√(3/2) + 1) / 4)

Исходя из этого, мы можем найти значения x, которые удовлетворяют этому уравнению.

Обратите внимание, что в итоговом решении, помимо x = π/2 + kπ и x = 3π/2 + kπ, где k - целое число, мы также получим значения x, соответствующие arcsin((√(3/2) + 1) / 4).

Надеюсь, эта подробная информация поможет вам решить уравнение sin(3x) - cos(3x) = √(3/2).