Question

Помогите пожалуйста Решить уравнение : 6sin²х-sinх=1 Решить уравнение : sin⁴х+сos⁴х = сos ²2х +1/4

Answer 1

1)6sinx^2-sinx-1=0 D=1+24=25 sinx=(1+5)/6 или sinx=(1-4)/6 sinx=1 или sinx=-1/2 sinx=pi*n/2 или sinx=(-1)^k*7pi/5+pi*k 2)sinx^4+cosx^4-cos2x^2-1/4=0 sinx^4+cosx^4-(sinx^2-cosx^2)^2-1/4=0 sinx^4+cosx^4-sinx^4+2*sinx^2*cosx^2-cos^4-1/4=0 1/2*sin2x^2=1/4 sin2x^2=1/2 sin2x=±кор2/2 2x=pi/4+pi*n/2 x=pi/8+pi*n/4

Answer 2

Для начала давайте рассмотрим первое уравнение:

Решение уравнения 6sin²x - sinx = 1

Для решения данного уравнения мы можем воспользоваться методом замены переменной. Пусть \( t = sin(x) \), тогда уравнение примет вид:

\[ 6t^2 - t = 1 \]

Теперь найдем корни этого квадратного уравнения. Обычно это делается с помощью дискриминанта \( D = b^2 - 4ac \), где \( a = 6 \), \( b = -1 \), \( c = -1 \).

\[ D = (-1)^2 - 4*6*(-1) = 1 + 24 = 25 \]

Таким образом, дискриминант положителен, и у нас есть два корня:

\[ t_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 + 5}{12} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2} \] \[ t_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 - 5}{12} = \frac{-4}{12} = -\frac{1}{3} \]

Теперь найдем значения \( x \), соответствующие этим значениям \( t \). Мы знаем, что \( t = \sin(x) \), поэтому:

Для \( t = \frac{1}{2} \), \( x = \frac{\pi}{6} + 2\pi n \), где \( n \) - целое число. Для \( t = -\frac{1}{3} \), \( x = -\frac{\pi}{3} + 2\pi n \), где \( n \) - целое число.

Таким образом, уравнение \( 6\sin^2x - \sin x = 1 \) имеет решения:

\[ x = \frac{\pi}{6} + 2\pi n \] \[ x = -\frac{\pi}{3} + 2\pi n \]

Решение уравнения sin⁴x + cos⁴x = cos²(2x) + 1/4

Теперь перейдем ко второму уравнению. Давайте разберемся с ним:

\[ \sin^4x + \cos^4x = \cos^2(2x) + \frac{1}{4} \]

Для решения данного уравнения мы можем воспользоваться формулой:

\[ \cos^2(2x) = \frac{1 + \cos(4x)}{2} \]

Теперь подставим это в уравнение:

\[ \sin^4x + \cos^4x = \frac{1 + \cos(4x)}{2} + \frac{1}{4} \]

Теперь мы можем использовать тригонометрические тождества, чтобы выразить \(\cos(4x)\) через \(\sin^2x\) и \(\cos^2x\).

После этого можно решить получившееся уравнение относительно \(\sin^2x\) и \(\cos^2x\), подставить обратно вместо \(\sin^2x\) и \(\cos^2x\) в выражение \(\cos(4x)\), и получить решения уравнения \(\sin^4x + \cos^4x = \cos^2(2x) + \frac{1}{4}\).

Таким образом, решение уравнения \(\sin^4x + \cos^4x = \cos^2(2x) + \frac{1}{4}\) потребует применения более сложных тригонометрических и алгебраических преобразований. Если вам нужна помощь с этим, пожалуйста, дайте мне знать, и я помогу