Question

Найдите точку максимума функции y=x^3-18x^2+81x+76

Answer 1

Находим производную:

$f'(x)=3x^2-36x+81$

Приравниваем ее к нулю, и решаем уравнение:

$\displaystyle 3x^2-36x+81=0\\\\x_{1,2}= \frac{36\pm \sqrt{1296-972} }{6}= \frac{36\pm 18}{6} = 9,3$

Берем координатную прямую и отмечаем на ней точки 3 и 9. Теперь имеем 3 промежутка:

$(-\infty,3] \Rightarrow +\\\\\ [3,9]\Rightarrow -\\\\\ [9,+\infty)\Rightarrow +$

Следовательно, в точке $x=3$ функция имеет максимум. Находим:

$f(3)_{\max}=3^3-18\cdot 3^2+81\cdot 3+76=27-162+243+76=184$

Следовательно, максимум функции находится в точке $(3,184)$.

Answer 2

Для нахождения точки максимума функции y = x^3 - 18x^2 + 81x + 76, мы можем использовать метод дифференцирования. Дифференцирование функции позволяет найти ее экстремумы, включая точки максимума и минимума.

Дифференцирование функции

Для начала, возьмем производную функции y по переменной x. Для этого применим правила дифференцирования для каждого члена в функции:

dy/dx = d/dx (x^3) - d/dx (18x^2) + d/dx (81x) + d/dx (76)

Вычислим производные каждого члена:

dy/dx = 3x^2 - 36x + 81

Нахождение критических точек

Теперь найдем критические точки функции, приравняв производную к нулю:

3x^2 - 36x + 81 = 0

Мы можем решить это квадратное уравнение используя факторизацию, полный квадрат или квадратное уравнение:

(x - 3)(x - 9) = 0

Отсюда получаем два возможных значения для x: x = 3 и x = 9.

Определение типа экстремума

Чтобы определить тип экстремума, нужно проанализировать знаки второй производной функции вблизи найденных критических точек.

Возьмем вторую производную функции:

d^2y/dx^2 = d/dx (3x^2 - 36x + 81)

Вычислим производную:

d^2y/dx^2 = 6x - 36

Определение типа экстремума в точке x = 3

Подставим x = 3 во вторую производную:

d^2y/dx^2 = 6(3) - 36 = -18

Так как вторая производная отрицательна при x = 3, это означает, что функция имеет максимум в точке x = 3.

Определение типа экстремума в точке x = 9

Подставим x = 9 во вторую производную:

d^2y/dx^2 = 6(9) - 36 = 18

Так как вторая производная положительна при x = 9, это означает, что функция имеет минимум в точке x = 9.

Нахождение значений функции в точках максимума и минимума

Теперь найдем значения функции y в точках максимума и минимума, подставив значения x = 3 и x = 9 в исходную функцию:

y(3) = (3)^3 - 18(3)^2 + 81(3) + 76 = 121

y(9) = (9)^3 - 18(9)^2 + 81(9) + 76 = 1241

Таким образом, точка максимума функции находится в (3, 121), а точка минимума - в (9, 1241).

Это подробное решение поможет вам понять, как найти точку максимума функции y = x^3 - 18x^2 + 81x + 76 и определить ее тип.