Question

Докажите неравенство: А). Х^2+у^2+8>(либо равно) 4(х+у) Б). 4х^2+10>12х

Answer 1

A) y² – 4y + x² – 4x + 8 ≥ 0,
(y – 2)² + (x – 2)² ≥ 0 . Равенство достигается тогда и только тогда, когда x = y = 2.

б) 4х² – 12x + 10 > 0,
(2x – 3)² + 1 > 0.

Answer 2

Доказательство неравенства А: \(x^2 + y^2 + 8 >\) (или равно) \(4(x + y)\)

# Шаг 1: Разложение неравенства

Для начала, разложим неравенство на отдельные части:

\(x^2 + y^2 + 8\) (или равно) \(4(x + y)\)

# Шаг 2: Упрощение левой части

Воспользуемся фактом, что \(x^2 + y^2\) может быть записано в виде \((x + y)^2 - 2xy\):

\((x + y)^2 - 2xy + 8\) (или равно) \(4(x + y)\)

# Шаг 3: Упрощение правой части

Раскроем скобки в правой части:

\((x + y)^2 - 2xy + 8\) (или равно) \(4x + 4y\)

# Шаг 4: Упрощение

Теперь упростим полученное неравенство:

\((x + y)^2 - 2xy + 8\) (или равно) \(4x + 4y\)

Раскроем скобки в левой части:

\(x^2 + 2xy + y^2 - 2xy + 8\) (или равно) \(4x + 4y\)

Упростим:

\(x^2 + y^2 + 8\) (или равно) \(4x + 4y\)

# Шаг 5: Упрощение дальше

Теперь упростим неравенство дальше:

\(x^2 + y^2 + 8\) (или равно) \(4x + 4y\)

Разделим обе части неравенства на 4:

\(\frac{{x^2 + y^2 + 8}}{4}\) (или равно) \(x + y\)

# Шаг 6: Дальнейшее упрощение

Уберем скобки в левой части:

\(\frac{{x^2 + y^2}}{4} + 2\) (или равно) \(x + y\)

# Шаг 7: Поиск условий

Теперь воспользуемся условием, что сумма квадратов двух чисел \(a\) и \(b\) больше или равна нулю: \(a^2 + b^2 \geq 0\). Это всегда верно, так как квадрат любого числа неотрицателен.

Применяя это условие к \(\frac{{x^2 + y^2}}{4}\), получим:

\(\frac{{x^2 + y^2}}{4} \geq 0\)

Также учтем условие, что 2 всегда больше или равно нулю: \(2 \geq 0\).

# Шаг 8: Окончательное доказательство

Теперь объединим все условия и неравенства, которые мы получили:

\(\frac{{x^2 + y^2}}{4} + 2 \geq 0\) (или равно) \(x + y\)

Мы видим, что левая часть неравенства всегда больше или равна нулю, так как сумма квадратов двух чисел всегда неотрицательна. Следовательно, неравенство \(x^2 + y^2 + 8 \geq 4(x + y)\) верно для всех значений \(x\) и \(y\).

Доказательство неравенства Б: \(4x^2 + 10 > 12x\)

# Шаг 1: Разложение неравенства

Для начала, разложим неравенство на отдельные части:

\(4x^2 + 10 > 12x\)

# Шаг 2: Перенос всех членов в одну сторону

Перенесем все члены в левую сторону:

\(4x^2 - 12x + 10 > 0\)

# Шаг 3: Проверка дискриминанта

Найдем дискриминант квадратного трехчлена \(4x^2 - 12x + 10\):

\(D = b^2 - 4ac = (-12)^2 - 4(4)(10) = 144 - 160 = -16\)

Так как дискриминант отрицательный (\(D < 0\)), то квадратное уравнение \(4x^2 - 12x + 10 = 0\) не имеет действительных корней.

# Шаг 4: Окончательное доказательство

Из дискриминанта следует, что квадратное уравнение \(4x^2 - 12x + 10 = 0\) не имеет действительных корней. Следовательно, неравенство \(4x^2 + 10 > 12x\) верно для всех значений \(x\).