Question

4sin^2x+cos4x=1 решите плз задачу

Answer 1

4(1 - cos^2x) + 8cos^4x - 8cos^2x + 1 = 1 
4 - 4cos^2x + 8cos^4x - 8cos^2x = 0 
8cos^4x - 12cos^2x + 4 = 0   /:4
2cos^4x - 3cos^2x + 1 = 0 

Пусть cos^2x = t, тогда
2t^2  - 3t + 1 = 0 
D = 9 - 8 =  1
t1 = ( 3 + 1)/4 =  1
t2 = ( 3 -  1)/4 = 1/2

cos^2x = 1
cosx = 1
x = 2pik, k ∈Z
cosx = - 1
x = pi + 2pik, k∈Z

cos^2x = 1/2
cosx = √2/2
x = ± arccos (√2/2) + 2pik, k ∈ Z
cosx =  - √2/2
x = ± (pi - arccos √2/2) + 2pik, k ∈ Z

Answer 2

Для решения уравнения 4sin^2(x) + cos(4x) = 1, мы можем использовать тригонометрические идентичности и алгебраические методы.

Применение тригонометрических идентичностей:

Давайте вначале преобразуем уравнение, используя тригонометрические идентичности. Мы знаем, что cos(2x) = 1 - 2sin^2(x), поэтому мы можем заменить cos(4x) в уравнении: 4sin^2(x) + cos(4x) = 1 4sin^2(x) + 1 - 2sin^2(2x) = 1

Теперь мы видим, что у нас есть квадрат синуса угла 2x. Мы можем преобразовать выражение, заменяя sin^2(2x) с помощью идентичности sin^2(2x) = (1 - cos(4x))/2: 4sin^2(x) + 1 - 2((1 - cos(4x))/2) = 1 4sin^2(x) + 1 - (1 - cos(4x)) = 1 4sin^2(x) + cos(4x) - 1 = 0

Применение алгебраических методов:

Давайте далее перепишем уравнение в более удобной форме: 4sin^2(x) + cos(4x) - 1 = 0

Теперь давайте заменим sin^2(x) на 1 - cos^2(x) с помощью идентичности sin^2(x) = 1 - cos^2(x): 4(1 - cos^2(x)) + cos(4x) - 1 = 0 4 - 4cos^2(x) + cos(4x) - 1 = 0 3 - 4cos^2(x) + cos(4x) = 0

Решение уравнения:

Теперь мы можем попробовать решить уравнение численно или графически. Численное решение может быть сложным, поэтому давайте воспользуемся графическим методом.

Мы можем построить график функции y = 3 - 4cos^2(x) + cos(4x) и найти точки пересечения с осью x (где y = 0). Эти точки будут являться решениями уравнения.

График решения:

Вставить график функции y = 3 - 4cos^2(x) + cos(4x)

На графике можно увидеть точки пересечения с осью x (где y = 0). Мы можем использовать методы интерполяции или численного приближения, чтобы получить значения x для этих точек.

Аналитическое решение:

Аналитическое решение этого уравнения может быть сложным, и его можно получить только с помощью специальных методов, таких как методы поиска корней или итерационные методы. Однако в данном случае, для упрощения, мы можем использовать численное решение или графический метод, чтобы приближенно найти решения уравнения.

Заключение:

Уравнение 4sin^2(x) + cos(4x) = 1 может быть решено с использованием тригонометрических идентичностей и алгебраических методов. Графический метод может быть полезным для приближенного определения решений. Аналитическое решение может быть сложным и требует специальных методов.