Question

Алгебра 11 класс. Интегралы,70 баллов. Срочно! Желательно ответить на все вопросы, помогите пожалуйста:-) 1)Для y=1/x^2-2cos x найти какую нибудь первообразную,что F=(Пи/2)>0 2) Вычислить а)интеграл от 0 до 1 x^7dx б) интеграл от пи/2 до 3пи/2sin*x/2dx 4)Вычислить площадь фигуры А)y=2-x^2,y=0 ,x=-1 ,x=0 б)y=x^3+2 ,касательная к ней в точке х=1 и прямой х=0; фигуры в правой полуплоскости.

Answer 1

1
y=1/x²-2cosx
F(x)=-1/x-2sinx+C
-2/π-2sinπ/2+C>0
C>2/π+2
2
a)=x^8/8|1-0=1/8-0=1/8
b)=-2cos(x/2)|3π/2-π/2=-2cos(3π/4)+2cos(π/4)=-2*(-√2/2)+2*√2/2=
=√2+√2=2√2
3
a)$S= \int\limits {(2-x^2)} \, dx =2x-x^3/3|0-(-1)=2-1/3=$1 2/3
b)Найдем уравнение касательной
y(1)=1+2=3
y`=3x²
y`(1)=3
Y=3+3(x-1)=3+3x-3=3x
x³+2=3x⇒x=1
[tex]S= \int\limits^1_0 {(x^3+2-3x)} \, dx =x^4/4+2x-3x^2/2|1-0=1/4+2-3/2=0,75

Answer 2

Интегралы

1) Для функции y = 1/x^2 - 2cos(x) мы должны найти какую-нибудь первообразную (антипроизводную). Для этого можно использовать метод интегрирования по частям или другие методы интегрирования в зависимости от сложности функции. В данном случае, используем метод интегрирования по частям.

Перепишем исходную функцию: y = x^(-2) - 2cos(x).

Интегрируем оба слагаемых отдельно:

∫ x^(-2) dx = ∫ 1/x^2 dx = -1/x + C1,

где C1 - произвольная постоянная.

∫ 2cos(x) dx = 2∫ cos(x) dx = 2sin(x) + C2,

где C2 - произвольная постоянная.

Тогда первообразная F(x) исходной функции y будет равна:

F(x) = -1/x + 2sin(x) + C,

где C = C1 + C2 - произвольная постоянная.

2) а) Для вычисления интеграла ∫[0,1] x^7 dx, применим формулу интегрирования монома:

∫ x^n dx = (1/(n+1)) * x^(n+1) + C.

В данном случае, n = 7, поэтому:

∫ x^7 dx = (1/8) * x^8 + C.

Теперь вычислим значение интеграла от 0 до 1:

∫[0,1] x^7 dx = [(1/8) * x^8]_0^1 = (1/8) * 1^8 - (1/8) * 0^8 = 1/8.

б) Для вычисления интеграла ∫[π/2,3π/2] sin(x/2) dx, применим формулу интегрирования синуса:

∫ sin(ax) dx = -1/a * cos(ax) + C.

В данном случае, a = 1/2, поэтому:

∫ sin(x/2) dx = -2 * cos(x/2) + C.

Теперь вычислим значение интеграла от π/2 до 3π/2:

∫[π/2,3π/2] sin(x/2) dx = [-2 * cos(x/2)]_[π/2,3π/2] = -2 * cos(3π/4) - (-2 * cos(π/4)) = 2√2 - 2.

4) а) Чтобы вычислить площадь фигуры А, ограниченной кривыми y = 2 - x^2, y = 0, x = -1 и x = 0, мы должны вычислить интеграл от функции y = 2 - x^2 на указанном интервале.

Сначала найдем точки пересечения кривых:

y = 2 - x^2 и y = 0:

2 - x^2 = 0,

x^2 = 2,

x = ±√2.

Таким образом, фигура А ограничена кривыми y = 2 - x^2, y = 0, x = -1 и x = 0.

Теперь вычислим площадь фигуры А:

S = ∫[-1,0] (2 - x^2) dx.

Для вычисления данного интеграла, применим формулу интегрирования монома:

∫ x^n dx = (1/(n+1)) * x^(n+1) + C.

В данном случае, n = 2, поэтому:

∫ x^2 dx = (1/3) * x^3 + C.

Теперь вычислим значение интеграла:

S = ∫[-1,0] (2 - x^2) dx = [2x - (1/3) * x^3]_[-1,0] = (2 * 0 - (1/3) * 0^3) - (2 * (-1) - (1/3) * (-1)^3) = (2 + 1/3) - (-2 - 1/3) = 8/3.

б) Чтобы вычислить площадь фигуры в правой полуплоскости, ограниченной кривыми y = x^3 + 2, касательной к ней в точке x = 1 и прямой x = 0, мы должны вычислить интеграл от функции y = x^3 + 2 на указанном интервале.

Сначала найдем точку касания касательной к кривой y = x^3 + 2 в точке x = 1.

Для этого найдем производную функции y = x^3 + 2:

y' = 3x^2.

Теперь найдем значение производной в точке x = 1:

y'(1) = 3 * 1^2 = 3.

Таким образом, уравнение касательной к кривой y = x^3 + 2 в точке x = 1 имеет вид:

y - (1^3 + 2) = 3(x - 1).

y - 3 = 3x - 3.

y = 3x.

Теперь вычислим площадь фигуры в правой полуплоскости:

S = ∫[0,∞] (x^3 + 2 - 3x) dx.

S = ∫[0,∞] (x^3 - 3x + 2) dx.

Для вычисления данного интеграла, применим формулу интегрирования монома:

∫ x^n dx = (1/(n+1)) * x^(n+1) + C.

В данном случае, n = 3, поэтому:

∫ x^3 dx = (1/4) * x^4 + C.

Теперь вычислим значение интеграла:

S = ∫[0,∞] (x^3 - 3x + 2) dx = [(1/4) * x^4 - (3/2) * x^2 + 2x]_[0,∞).

Так как верхний предел интегрирования бесконечность, то значение интеграла будет определено только нижним пределом:

S = lim(x → ∞) [(1/4) * x^4 - (3/2) * x^2 + 2x - ((1/4) * 0^4 - (3/2) * 0^2 + 2 * 0)].

Так как x^4 и x^2 возрастают быстрее, чем x, при x → ∞, то предел будет равен бесконечности:

S = ∞.

Таким образом, площадь фигуры в правой полуплоскости бесконечна.