Question

Вычислить двойной интеграл,ограниченного заданными линиями: ∫ ∫ по области D (x^3-2y) dxdy, D: y=x^2-1, x>=0, y<=0

Answer 1

$\iint _{D}(x^3-2y)dx\, dy=\int _0^1dx\int _{x^2-1}^0(x^3-2y)dy=\\\\=\int _0^1[\, (x^3y-y^2)|_{x^2-1}^0\, ]dx=\int _0^1[\, 0-x^3(x^2-1)+(x^2-1)^2\, ]dy=\\\\=\int _0^1(-x^5+1+x^4-2x^2+1)dx=(-\frac{x^6}{6}+2x+\frac{x^5}{5}-\frac{2x^3}{3})_0^1=\\\\=-\frac{1}{6}+2+\frac{1}{5}-\frac{2}{3}=\frac{41}{30}$

Answer 2

Я могу помочь вам с вычислением двойного интеграла. Вот шаги решения:

1. Найдите пределы интегрирования по x и y. Область D ограничена кривыми $$y=x^2-1$$ и $$y=0$$, а также прямой $$x=0$$. Поэтому пределы интегрирования по x от 0 до $$\sqrt{1+y}$$, а по y от -1 до 0. 2. Подставьте пределы интегрирования в двойной интеграл и вычислите его по порядку. Получим:

$$\int_{-1}^{0} \int_{0}^{\sqrt{1+y}} (x^3-2y) dx dy = \int_{-1}^{0} \left[ \frac{x^4}{4} - 2yx \right]_{0}^{\sqrt{1+y}} dy = \int_{-1}^{0} \left( \frac{(1+y)^2}{4} - 2y\sqrt{1+y} \right) dy$$

$$= \left[ \frac{(1+y)^3}{12} - \frac{4}{3}(1+y)^{3/2} \right]_{-1}^{0} = \left( \frac{1}{12} - \frac{4}{3} \right) - \left( -\frac{1}{3} + \frac{4}{3} \right) = -\frac{5}{12} - \frac{1}{3} = -\frac{3}{4}$$

Ответ: $$-\frac{3}{4}$$Ответь+подробно.+Вычислить+двойной+интеграл,ограниченного+заданными+линиями:+∫+∫+по+области+D+(x^3-2y)+dxdy,+D:+y=x^2-1,+x>=0,+y<=0