Question

Найти точки минимума функции у=косинус (х+п/4)

Answer 1

Y' = -4sin(4x) 
y'(pi/4) = -4sin(pi) = 0

Answer 2

Для того чтобы найти точки минимума функции \( y = \cos\left(\frac{x\pi}{4}\right) \), нужно воспользоваться производной этой функции. Точка минимума функции соответствует точке, где производная меняет знак с "—" на "+".

Нахождение производной

Производная функции \( y = \cos\left(\frac{x\pi}{4}\right) \) может быть найдена с помощью цепного правила дифференцирования:

\[ \frac{dy}{dx} = -\sin\left(\frac{x\pi}{4}\right) \cdot \frac{\pi}{4} \]

Нахождение точек экстремума

Теперь, чтобы найти точки минимума, нужно приравнять производную к нулю и решить уравнение:

\[ -\sin\left(\frac{x\pi}{4}\right) \cdot \frac{\pi}{4} = 0 \]

Так как \( \sin(\theta) = 0 \) при \( \theta = k\pi \), где \( k \) - целое число, то получаем:

\[ \frac{x\pi}{4} = k\pi \] \[ x = 4k \]

Таким образом, точки минимума функции \( y = \cos\left(\frac{x\pi}{4}\right) \) будут иметь вид \( x = 4k \), где \( k \) - целое число.

Значения функции в точках минимума

Чтобы найти соответствующие значения функции в этих точках, подставим \( x = 4k \) обратно в исходную функцию:

\[ y = \cos\left(\frac{4k\pi}{4}\right) = \cos(k\pi) \]

Таким образом, точки минимума функции будут иметь координаты \( (4k, \cos(k\pi)) \), где \( k \) - целое число.