Question

Найдите наименьшее значение функции f(x)=(4 / x+1) + x. На промежутке [0;3]

Answer 1

$f(x)= \frac{4}{x+1} +x$
Область определения: D(f): x+1≠0 ⇒ x≠-1 ⇒ x∈(-∞, -1)∨(-1, +∞)
$f'(x)= \frac{-4}{(x+1)^{2}} +1$
$f'(x)=0 \\ \frac{-4}{(x+1)^{2}} +1=0 \\ \frac{-4}{(x+1)^{2}} =-1 \\ (x+1)^{2}=4 \\ x+1=2, x+1=-2 \\ x=1, x=-3$
-3∉[0,3]
$f(0)= \frac{4}{0+1} +0=4 \\ f(1)= \frac{4}{1+1} +1=3 \\ f(x)= \frac{4}{3+1} +3=4$
⇒f(min)=min{3,4}=3
                      ответ: 3

Answer 2

Чтобы найти наименьшее значение функции \(f(x) = \frac{4}{x + 1} + x\) на промежутке \([0;3]\), нужно выполнить несколько шагов:

1. Найти производную функции. Найдем производную функции \(f(x)\):

\[f'(x) = -\frac{4}{{(x+1)}^2} + 1\]

2. Найти критические точки. Критические точки возникают, когда производная равна нулю или не существует. Решим уравнение:

\[-\frac{4}{{(x+1)}^2} + 1 = 0\]

Решив это уравнение, мы найдем критические точки. Добавим 1 к обеим сторонам и умножим на \({(x+1)}^2\):

\[1 = \frac{4}{{(x+1)}^2}\]

\[{(x+1)}^2 = 4\]

\[x+1 = \pm 2\]

Получаем два значения: \(x = 1\) и \(x = -3\). Теперь проверим, лежат ли эти значения в интервале \([0;3]\). Только \(x = 1\) удовлетворяет этому условию.

3. Проверить значения на концах интервала и в найденных критических точках. Проверим значения функции в \(x = 0\), \(x = 1\) и \(x = 3\):

\[f(0) = \frac{4}{0+1} + 0 = 4\] \[f(1) = \frac{4}{1+1} + 1 = 3\] \[f(3) = \frac{4}{3+1} + 3 = \frac{16}{4} + 3 = 7\]

Самое маленькое значение функции на интервале [0;3] равно 3 и достигается при \(x = 1\).

Таким образом, наименьшее значение функции \(f(x)\) на промежутке [0;3] равно 3 и достигается при \(x = 1\).