Question

Решите неравенство:1)|x^2+3x-4|+|x^2-16|>|2x^2+3x-20|2)

Answer 1

2) 4/(3x+4)^2 -16/(3x+4) +15 <0

    4/(3x+4)^2 - 16(3x+4)/(3x+4)^2 + 15(3x+4)^2/(3x+4)^2 <0

   (4-16(3x+4) +15(3x+4)^2)/(3x+4)^2 <0

   (135x^2+312x+180) / (3x+4)^2 <0

 Находим критические точки

  a)  135x^2+312x+180=0

       45x^2+104x+60=0

       D=b^2-4ac=16

       x1,2=(-104±4)/90

       x1=-1,2

       x2=-10/9

    б) (3x+4)^2=0

         3x+4=0

         x=-4/3

Имеем критические точки

        x=-1,2   x=-10/9   x=-4/3

 

Применяя метод интервалов, получим, что исходное выражение < 0 при

  x> -1,2 и x<-10/9

Answer 2

Решаем п.1: Разложим все кв. трехчлены на множители:

|(x+4)(x-1)| + |(x-4)(x+4)| > |(x+4)(2x-5)|

Расставим все критические точки на числовой оси и определим знаки подмодульных выражений в порядке их следования на каждом из образовавшихся интервалов:

 +++               ---           +--                 +-+            +++

-----------(-4)--------(1)----------(2,5)----------(4)-------------

Замечаем, что (х+4) - общий множитель всех выражений. Точка (-4) исключена, так как при х = -4 получим 0>0, что неверно.

Рассмотрим по очереди все интервалы слева направо и раскроем модули, согласно указанным знакам и проведя сокращение на (х+4), меняя знак неравенства при необходимости:

(-бск; -4):

х-1+х-4<2х-5            0<0    не верно.  Здесь решений нет

(-4; 1]:

1-x+4-x>5-2x            0>0     нет решений.

(1; 2,5]:

x-1+4-x>5-2x    2x>2    x>1          решение: (1; 2,5]

(2,5; 4]:

x-1+4-x>2x-5    2x<8    x<4          решение: (2,5; 4)

(4; бск):

x-1+x-4>2x-5             0>0         нет решений.

Два полученных решения можно объединить в одно: (1; 4)

Ответ: (1; 4).

Answer 3

Давайте разберемся с каждым модулем по отдельности.

1) Рассмотрим модуль |x^2+3x-4|:

x^2 + 3x - 4 = 0

Найдем корни этого квадратного уравнения:

\(x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}\)

Для уравнения \(x^2+3x-4=0\), a=1, b=3, c=-4.

\(x = \frac{-3 \pm \sqrt{3^2 - 4(1)(-4)}}{2(1)}\)

\(x = \frac{-3 \pm \sqrt{25}}{2}\)

Таким образом, корни уравнения \(x^2+3x-4=0\) равны \(x_1 = -4\) и \(x_2 = 1\).

Теперь мы можем разбить числовую прямую на три интервала:

a) \((- \infty, -4)\), b) \((-4, 1)\), c) \((1, +\infty)\).

В каждом из этих интервалов мы можем выбрать любое число и подставить в исходное неравенство для проверки знака.

a) Пусть x = -5, тогда:

|(-5)^2 + 3(-5) - 4| = 44 |(-5)^2 - 16| = 9 |2(-5)^2 + 3(-5) - 20| = 79

44 + 9 > 79 - неравенство выполняется.

b) Пусть x = 0, тогда:

|0^2 + 3(0) - 4| = 4 |0^2 - 16| = 16 |2(0)^2 + 3(0) - 20| = 20

4 + 16 > 20 - неравенство выполняется.

c) Пусть x = 2, тогда:

|2^2 + 3(2) - 4| = 16 |2^2 - 16| = 0 |2(2)^2 + 3(2) - 20| = 8

16 > 8 - неравенство не выполняется.

Таким образом, неравенство \(|x^2+3x-4| > |x^2-16|\) выполняется на интервалах a) \((- \infty, -4)\) и b) \((-4, 1)\).

2) Теперь рассмотрим модуль |2x^2+3x-20|:

Решим уравнение \(2x^2+3x-20=0\):

\(x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}\)

Для уравнения \(2x^2+3x-20=0\), a=2, b=3, c=-20.

\(x = \frac{-3 \pm \sqrt{3^2 - 4(2)(-20)}}{2(2)}\)

\(x = \frac{-3 \pm \sqrt{169}}{4}\)

Корни уравнения \(2x^2+3x-20=0\) равны \(x_1 = -5\) и \(x_2 = \frac{4}{2} = 2\).

Теперь числовая прямая разбивается на три интервала:

a) \((- \infty, -5)\), b) \((-5, 2)\), c) \((2, +\infty)\).

Проверим знак неравенства для каждого интервала:

a) Пусть x = -6, тогда:

\(|2(-6)^2 + 3(-6) - 20| = 104\)

b) Пусть x = -4, тогда:

\(|2(-4)^2 + 3(-4) - 20| = 0\)

c) Пусть x = 3, тогда:

\(|2(3)^2 + 3(3) - 20| = 26\)

Таким образом, неравенство \(|2x^2+3x-20|\) выполняется на интервале b) \((-5, 2)\).

Теперь объединим результаты:

\( |x^2+3x-4| > |x^2-16| \) выполняется на интервалах a) \((- \infty, -4)\) и b) \((-4, 1)\), а \(|2x^2+3x-20|\) выполняется на интервале b) \((-5, 2)\).

Таким образом, объединение интервалов a) \((- \infty, -4)\) и b) \((-4, 1)\) даёт окончательное множество решений данного неравенства: \((- \infty, -4) \cup (-4, 1)\).