Question

СРОЧНОО, хоть что-то решите 1.Найдите все первообразные, пожалуйста a) f(x)=x√1+x^{2} б) f(x)=ctgx, x∈(0;π) 2.Найдите первообразную f(x)= \frac{4x^2-3}{x} A(-1;5)

Answer 1

А) неверно написала наверно корень из единиц равна единицу
б) ln(sin(x)) + C

Answer 2

1. Найдем первообразную функции a) f(x) = x√(1+x^2). Для нахождения первообразной функции, нужно найти такую функцию F(x), производная которой равна данной функции f(x).

Имеем: f(x) = x√(1+x^2).

Для удобства, введем замену: u = 1+x^2.

Тогда: du = 2xdx, dx = du / (2x).

Подставим это в исходное выражение: f(x) = x√u, dx = du / (2x).

Теперь применим формулу замены переменных при нахождении интеграла: ∫ f(x)dx = ∫ x√(1+x^2)dx = ∫ (√u) du / (2x).

Заменим переменные в пределах интегрирования. Когда x = a, то u = 1+a^2, Когда x = b, то u = 1+b^2.

Теперь выразим интеграл через новые переменные: ∫ (√u) du / (2x) = 1/2 ∫ du / (√u) = 1/2 ∫ u^(-1/2)du.

Теперь интегрируем по переменной u: = 1/2 * 2u^(1/2) = u^(1/2) + C.

Теперь вернемся к исходным переменным: F(x) = (1+x^2)^(1/2) + C.

Таким образом, первообразной функции f(x) = x√(1+x^2) является F(x) = (1+x^2)^(1/2) + C.

2. Найдем первообразную функции f(x) = (4x^2-3)/x, где x ∈ (-1,5).

Заметим, что данная функция представляется в виде суммы двух частных функций: 4x - 3/x.

Найдем первообразную для каждой из них:

a) ∫ 4x dx = 2x^2 + C1, b) ∫ -3/x dx = -3ln|x| + C2.

Теперь объединим результаты: F(x) = (2x^2 - 3ln|x|) + C.

Используя условие задачи, найдем константу C. Подставляем значения x = -1 и x = 5:

F(-1) = (2*(-1)^2 - 3ln|-1|) + C = 2 - 3ln(1) + C = 2 - 3*0 + C = 2 + C, F(5) = (2*5^2 - 3ln|5|) + C = 50 - 3ln(5) + C.

Из условия следует, что F(-1) = F(5). Значит:

2 + C = 50 - 3ln(5) + C.

Приравниваем две стороны уравнения и находим C:

2 = 50 - 3ln(5).

ln(5) = 48 / 3 = 16.

C = 2 - 50 + 3ln(5) = -48 + 3*16 = 0.

Таким образом, первообразная функции f(x) = (4x^2-3)/x на интервале (-1,5) равна F(x) = (2x^2 - 3ln|x|) + 0 = 2x^2 - 3ln|x|.