Question

ПОМОГИТЕ ПОЖАЛУЙСТА:1-COS2α/SIN2α=tgα

Answer 1

$\frac{1-cos2a}{sin2a}=tga$

 

$\frac{cos^{2}a+sin^{2}a-cos^{2}a+sin^{2}a}{2sinacosa}=tga$

 

$\frac{2sin^{2}a}{2sinacosa}=tga$

 

$\frac{sina}{cosa} =tga$

 

$tga=tga$

 

Что и требовалось доказать

Answer 2

Конечно, давайте разберем ваше уравнение:

\[ \frac{\cos(2\alpha)}{\sin(2\alpha)} = \tan(\alpha) \]

Мы можем воспользоваться тригонометрическими тождествами для упрощения левой стороны уравнения.

Сначала, заметим, что:

\[ \cos(2\alpha) = \cos^2(\alpha) - \sin^2(\alpha) \]

и

\[ \sin(2\alpha) = 2\sin(\alpha)\cos(\alpha) \]

Теперь, подставим эти значения в исходное уравнение:

\[ \frac{\cos^2(\alpha) - \sin^2(\alpha)}{2\sin(\alpha)\cos(\alpha)} = \tan(\alpha) \]

Теперь выразим \(\tan(\alpha)\) через \(\sin(\alpha)\) и \(\cos(\alpha)\):

\[ \frac{\cos^2(\alpha) - \sin^2(\alpha)}{2\sin(\alpha)\cos(\alpha)} = \frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)} \]

Теперь умножим обе стороны уравнения на \(\cos(\alpha)\) и упростим:

\[ \cos(\alpha)(\cos^2(\alpha) - \sin^2(\alpha)) = 2\sin(\alpha) \]

Раскроем скобки:

\[ \cos^3(\alpha) - \sin^2(\alpha)\cos(\alpha) = 2\sin(\alpha) \]

Теперь, добавим \(\sin^2(\alpha)\cos(\alpha)\) к обеим сторонам уравнения:

\[ \cos^3(\alpha) = 2\sin(\alpha) + \sin^2(\alpha)\cos(\alpha) \]

Теперь разделим обе стороны на \(\cos^3(\alpha)\):

\[ 1 = \frac{2\sin(\alpha)}{\cos^2(\alpha)} + \tan(\alpha) \]

И наконец, заменим \(\tan(\alpha)\) на \(\frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)}\):

\[ 1 = \frac{2\sin(\alpha)}{\cos^2(\alpha)} + \frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)} \]

Теперь умножим обе стороны на \(\cos^2(\alpha)\), чтобы избавиться от знаменателя:

\[ \cos^2(\alpha) = 2\sin(\alpha) + \sin(\alpha)\cos(\alpha) \]

Теперь используем тригонометрическое тождество \(\sin(\alpha)\cos(\alpha) = \frac{1}{2}\sin(2\alpha)\):

\[ \cos^2(\alpha) = 2\sin(\alpha) + \frac{1}{2}\sin(2\alpha) \]

Упростим выражение:

\[ \cos^2(\alpha) = \sin(2\alpha) + 2\sin(\alpha) \]

Теперь выражение \(\frac{\cos(2\alpha)}{\sin(2\alpha)}\) стало равным \(\tan(\alpha)\). В итоге получаем:

\[ \tan(\alpha) = \sin(2\alpha) + 2\sin(\alpha) \]

Таким образом, утверждение \(\frac{\cos(2\alpha)}{\sin(2\alpha)} = \tan(\alpha)\) верно при условии, что \(\tan(\alpha) = \sin(2\alpha) + 2\sin(\alpha)\).