Question

7sin^2(x)+4sinx*cosx-3cos^2(x)=0 семь синусов в квадрате икс плюс 4 синус икс умножить на косинус икс минус три косинуса в квадрате икс

Answer 1

Делим на cos^2(x)
7(sin^2x/cos^2x)+4*(sinx/cosx)-3=0
7tg^2x+4tgx-3=0
tgx=y
7y^2+4y-3=0
D=16+84=100=10^2
y1=(-4+10)/14=6/14=3/7
y2=-14/14=-1
tgx=3/7
x=arctg(3/7)+pi*n
tgx=-1
x=-pi/4+pi*n
Ответ: x1=arctg(3/7)+pi*n; x2=-pi/4+pi*n

Answer 2

Дано уравнение: 7sin^2(x) + 4sinx*cosx - 3cos^2(x) = 0.

Для упрощения этого уравнения воспользуемся формулами тригонометрии.

Выражение sin^2(x) можно заменить на 1 - cos^2(x):

7(1 - cos^2(x)) + 4sinx*cosx - 3cos^2(x) = 0.

Раскроем скобки:

7 - 7cos^2(x) + 4sinx*cosx - 3cos^2(x) = 0.

Сгруппируем члены, содержащие cos^2(x):

-10cos^2(x) + 4sinx*cosx + 7 = 0.

Разделим всё уравнение на -1, чтобы коэффициент при cos^2(x) был положительным:

10cos^2(x) - 4sinx*cosx - 7 = 0.

Теперь у нас есть квадратное уравнение относительно cos(x). Решим его, используя стандартную формулу дискриминанта:

D = b^2 - 4ac,

где a = 10, b = -4sinx, c = -7.

D = (-4sinx)^2 - 4 * 10 * (-7) = 16sin^2(x) + 280.

Если D > 0, то уравнение имеет два различных действительных корня. Если D = 0, то уравнение имеет один действительный корень. Если D < 0, то уравнение не имеет действительных корней.

Теперь проверим значения D:

D = 16sin^2(x) + 280.

Так как sin^2(x) всегда положителен или равен нулю, D всегда больше или равен 280.

Определим значения sin^2(x), при которых D = 0:

16sin^2(x) + 280 = 0.

16sin^2(x) = -280.

sin^2(x) = -280/16.

Так как sin^2(x) не может быть отрицательным, то это уравнение не имеет решений в действительных числах.

Следовательно, исходное уравнение 7sin^2(x) + 4sinx*cosx - 3cos^2(x) = 0 не имеет решений в действительных числах.