Question

При каких а функция f(x)=(a+1)x³+4ax²-3ax+9 имеет экстремумы которые принадлежат (-1:2)

Answer 1

Найдем производную данной функции и приравняем ее к нулю:

Задача  сводится к тому, чтобы найти решение уравнения, которое принадлежит промежутку (-1;2)

Answer 2

Для определения экстремумов функции f(x) = (a+1)x³ + 4ax² - 3ax + 9 в интервале (-1, 2), мы должны найти значения параметра a, при которых функция имеет экстремумы в этом интервале.

Нахождение экстремумов функции

Для нахождения экстремумов функции, мы должны найти ее критические точки, то есть точки, в которых производная функции равна нулю или не существует.

Производная функции

Давайте найдем производную функции f(x) = (a+1)x³ + 4ax² - 3ax + 9 по переменной x.

f'(x) = 3(a+1)x² + 8ax - 3a

Нахождение критических точек

Чтобы найти критические точки, мы должны решить уравнение f'(x) = 0.

3(a+1)x² + 8ax - 3a = 0

Решение уравнения

Решение этого уравнения зависит от значения параметра a. Давайте рассмотрим два случая.

Случай 1: a = 0

Если a = 0, то уравнение принимает следующий вид:

3(x² - 1) = 0

Решая это уравнение, мы получаем две критические точки: x = -1 и x = 1.

Случай 2: a ≠ 0

Если a ≠ 0, то уравнение принимает следующий вид:

3(a+1)x² + 8ax - 3a = 0

Для нахождения критических точек в этом случае, мы можем использовать квадратное уравнение.

Квадратное уравнение

Решение квадратного уравнения ax² + bx + c = 0 может быть найдено с помощью формулы дискриминанта:

x = (-b ± √(b² - 4ac)) / (2a)

Применение квадратного уравнения

Применяя формулу дискриминанта к уравнению 3(a+1)x² + 8ax - 3a = 0, мы получаем:

x = (-8a ± √((8a)² - 4 * 3(a+1)(-3a))) / (2 * 3(a+1))

Упрощение выражения

Мы можем упростить это выражение, чтобы найти значения x.

x = (-8a ± √(64a² + 36a² + 36a)) / (6(a+1))

x = (-8a ± √(100a² + 36a)) / (6(a+1))

x = (-4a ± √(25a² + 9a)) / (3(a+1))

Проверка интервала

Теперь, чтобы узнать, какие значения параметра a приводят к экстремумам в интервале (-1, 2), мы должны проверить, лежат ли найденные критические точки в этом интервале.

Проверка x = -1

Подставим x = -1 в выражение для x:

(-4a ± √(25a² + 9a)) / (3(a+1)) = -1

Решая это уравнение, мы получаем значения параметра a, при которых x = -1.

Проверка x = 2

Подставим x = 2 в выражение для x:

(-4a ± √(25a² + 9a)) / (3(a+1)) = 2

Решая это уравнение, мы получаем значения параметра a, при которых x = 2.

Вывод

Таким образом, для функции f(x) = (a+1)x³ + 4ax² - 3ax + 9, экстремумы, принадлежащие интервалу (-1, 2), будут зависеть от значения параметра a. Мы можем найти эти значения, решив уравнения, полученные при нахождении критических точек и проверив, лежат ли эти точки в интервале (-1, 2).